Geometria plana

O estudo da geometria plana começa a partir de elementos primitivos, que são:

  • o ponto;

  • a reta;

  • o plano.

A partir desses objetos, surgem conceitos como os de:

  • ângulo;

  • segmento de reta;

  • semirreta;

  • polígonos;

  • área, entre outros.

Um dos conteúdos mais recorrentes do Enem, a geometria plana aparece bastante na prova de Matemática por meio de questões que cobram desde os conteúdos básicos até os conteúdos mais avançados, como área de polígonos e o estudo de círculo e circunferência. Para se dar bem, é importante conhecer as fórmulas de área dos principais polígonos e reconhecer essas figuras.

Leia também: Posições relativas entre duas retas: paralelas, concorrentes ou coincidentes

A geometria plana é a área da Matemática que estuda os elementos geométricos no plano.
A geometria plana é a área da Matemática que estuda os elementos geométricos no plano.

Conceitos básicos da geometria plana

A geometria plana é conhecida também como geometria plana euclidiana, já que foi o matemático Euclides que realizou grandes contribuições para a fundamentação dessa área de estudos. Tudo começou com três elementos primitivos: o ponto, a reta e o plano, que são assim chamados porque são elementos construídos na mente do homem de forma intuitiva e não podem ser definidos.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

  • Um ponto sempre é representado por meio de letras maiúsculas do nosso alfabeto.

  • Uma reta é representada por letra minúscula.

  • Um plano é representado por uma letra do alfabeto grego.

Ponto, reta e plano
Ponto, reta e plano

A partir da reta, surgem outros conceitos importantes, que são o de semirreta e o de segmento de reta.

  • Semirreta: parte de uma reta que possui começo em um ponto determinado, mas não possui fim.

  • Segmento de reta: parte de uma reta que possui começo e fim determinados, ou seja, é o segmento que está entre dois pontos.

Semirreta e segmento de reta respectivamente.
Semirreta e segmento de reta respectivamente.

Entendendo a geometria como uma construção, é possível definir o que são ângulos agora que sabemos o que é uma semirreta. Sempre que há o encontro de duas semirretas em um ponto conhecido como vértice, a região que se encontra entre as semirretas é conhecida como ângulo.

Ângulo PÂQ
Ângulo PÂQ

Um ângulo pode ser classificado como:

  • agudo: se sua medida for menor que 90º;

  • reto: se sua medida for igual a 90º;

  • obtuso: se sua medida for maior que 90º e menor que 180º;

  • raso: se sua medida for igual a 180º.

Classificação dos ângulos
Classificação dos ângulos

Figuras geométricas

Representações no plano de imagens são conhecidas como figuras geométricas. Existem alguns casos particulares — os polígonos — com propriedades importantes. Além dos polígonos, outra figura importante é a circunferência, que também deve ser estudada a fundo.

Veja também: Congruência de figuras geométricas – casos de figuras distintas com medidas iguais

Fórmulas da geometria plana

No caso dos polígonos, é essencial reconhecer cada um deles, suas propriedades e a sua fórmula de área e de perímetro. É importante entender que a área é o cálculo da superfície que essa figura plana possui, e o perímetro é o comprimento do seu contorno, calculado pela soma de todos os lados. Os principais polígonos são os triângulos e os quadriláteros — destes, destacam-se o quadrado, o retângulo, o losango e o trapézio.

  • Triângulos

O triângulo é um polígono que possui três lados.

b → base
h → altura

Já o perímetro do triângulo não possui fórmula específica. Basta lembrar que ele é calculado pela adição do comprimento de todos os lados.

  • Quadriláteros

Existem alguns casos específicos de quadriláteros, e cada um deles possui fórmulas específicas para calcular a área da superfície. Assim, é fundamental reconhecer cada um deles e saber aplicar a fórmula para o cálculo da área.

  • Paralelogramo

Os paralelogramos são quadriláteros que possuem os lados opostos paralelos.

A = b · h

b → base

h → altura

No paralelogramo é importante perceber que os lados opostos são congruentes, logo o perímetro dele pode ser calculado por:

  • Retângulo

O retângulo é um paralelogramo que possui todos os ângulos retos.

A = b · h

b → base

h → altura

Como os lados coincidem com a altura e a base, o perímetro pode ser calculado por:

P = 2 ( b + h)

  • Losango

O losango é um paralelogramo que possui todos os lados congruentes.

D→ diagonal maior

d → diagonal menor

Como todos os lados são congruentes, o perímetro do losango pode ser calculado por:

P = 4l

l → lado

  • Quadrado

Paralelogramo que possui todos os ângulos retos e todos os lados congruentes.

A = l²

l → lado

Assim como o losango, o quadrado possui todos os lados congruentes, logo o seu perímetro é calculado por:

P = 4l

l → lado

  • Trapézio

Quadrilátero que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos.

B → base maior

b → base menor

L1 e L2 → lados

Sobre o perímetro de um trapézio, não existe uma fórmula específica para isso. Basta lembrar que perímetro é a soma de todos os lados:

P = B + b + L1 + L2

  • Círculo e circunferência

Além dos polígonos, outras figuras planas importantes são o círculo e a circunferência. Definimos como circunferência a figura formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância (r) do centro. Essa distância é chamada de raio. Para ficar claro o que é a circunferência e o que é o círculo, basta entendermos que circunferência é o contorno que delimita o círculo, logo o círculo é a região que fica limitada pela circunferência.

Essa definição gera duas fórmulas importantes, a de área do círculo (A) e a de comprimento de circunferência (C). Conhecemos como comprimento da circunferência o que seria análogo ao perímetro de um polígono, ou seja, é o comprimento do contorno da região.

A = πr²
C = 2πr
r → raio

Leia mais: Circunferência e círculo: definições e diferenças básicas

Diferença entre geometria plana e geometria espacial

Ao comparar a geometria plana com a geometria espacial, é importante perceber que a geometria plana é bidimensional e que a geometria espacial é tridimensional. Vivemos em um mundo tridimensional, logo a geometria espacial está constantemente presente por ser uma geometria no espaço. A geometria plana, como o nome sugere, é estudada no plano, logo ela possui duas dimensões. É a partir da geometria plana que nós temos base para realizar estudos específicos da geometria espacial.

Para conseguir diferenciar bem as duas, basta realizar a comparação entre um quadrado e um cubo. O cubo possui largura, comprimento e altura, ou seja, três dimensões. Já um quadrado possui apenas comprimento e largura.

Os poliedros são sólidos geométricos estudados na geometria espacial.
Os poliedros são sólidos geométricos estudados na geometria espacial.

Geometria plana no Enem

A prova de matemática do Enem leva em consideração seis competências, com o objetivo de avaliar se o candidato possui habilidades específicas. A geometria plana está ligada à competência 2.

Competência de área 2: utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

Nessa competência, há quatro habilidades que o Enem espera que o candidato tenha, que são:

  • H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

Essa habilidade busca avaliar se o candidato consegue fazer relação do mundo tridimensional com o mundo bidimensional, ou seja, a geometria plana.

  • H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.

A habilidade mais cobrada na geometria plana envolve desde características básicas, como reconhecimento de ângulos e da figura plana, até características que exigem um estudo mais aprofundado dessas figuras.

  • H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Essa habilidade envolve perímetro, área, trigonometria, entre outros assuntos mais específicos que são utilizados para resolver situações-problema contextualizadas.

  • H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Assim como a habilidade 8, os conteúdos podem ser os mesmos, mas, nesse caso, além da realização dos cálculos, espera-se que o candidato consiga comparar e analisar as situações para selecionar argumentos que forneçam respostas a problemas do nosso dia a dia.

Com base nessas competências, podemos afirmar tranquilamente que a geometria plana é um conteúdo que se fará presente em todas as edições da prova e, analisando os anos anteriores, sempre houve mais de uma questão sobre o assunto. Além disso, a geometria plana se relaciona direta ou indiretamente com as questões que envolvem geometria espacial e geometria analítica.

Para fazer o Enem, é de grande importância estudar os principais tópicos da geometria plana, que são:

  • ângulos;

  • polígonos;

  • triângulos;

  • quadriláteros;

  • círculo e circunferência;

  • área e perímetro de figuras planas;

  • trigonometria.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2015) O Esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a)

A) aumento de 5 800 cm².

B) aumento de 75 400 cm².

C) aumento de 214 600 cm².

D) diminuição de 63 800 cm².

E) diminuição de 272 600 cm².

Resolução

Alternativa A.

1º passo: calcular a área dos garrafões.

No esquema I, o garrafão é um trapézio com bases de 600 cm e 380 cm e altura de 580 cm. A área do trapézio é calculada por:

No esquema II, o garrafão é um retângulo de base de 580 cm e altura de 490 cm.

A = b · h

A = 580 · 490

A= 284200

2º passo: calcular a diferença entre as áreas.

284200 – 278400 = 5800 cm²

Questão 2 – (Enem 2019) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m2 de área. O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.

Utilize 3 como aproximação para π.

A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque

A) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m².

B) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m².

C) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².

D) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².

E) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².

Resolução

Alternativa E.

1º Passo: calcular a diferença entre a área dos dois círculos.

A2 – A1 = πR² – πr² = π (R² – r² )

r = 6 : 2 = 3
R = 14 : 2 = 7.

π = 3

Então:

A2 – A1 = 3 (7² – 3² )

A2 – A1 = 3 (49 – 9)

A2 – A1 = 3 · 40 = 120

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos de Geometria plana

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero

Saiba como encontrar a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo.

Ângulos

Clique para aprender o que são ângulos, como medi-los da maneira correta, para que serve um transferidor e alguns dos ângulos mais importantes.

Ângulos alternos internos e externos

Clique e descubra o que são ângulos alternos internos e externos em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal.

Ângulos opostos pelo vértice

Clique e aprenda o que são ângulos opostos pelo vértice e descubra também quais são as suas propriedades e o que são ângulos adjacentes.

Área da coroa circular

Clique aqui e aprenda como calcular a área da coroa circular!

Área do Círculo

Cálculo da área de uma circunferência

Área do losango

Clique aqui e veja alguns exemplos de como calcular a área do losango!

Área do Paralelogramo

Clique aqui e veja como é realizado o cálculo de área do paralelogramo!

Área do polígono regular

Clique e descubra como calcular a área de um polígono regular e aprenda como sua fórmula pode ser demonstrada.

Área do prisma

Clique para aprender a calcular a área de um prisma a partir da soma das áreas de todas as suas faces.

Área do retângulo

figuras planas, área de figuras planas, nomenclaturas de figuras planas, quantidades de lados de uma figura plana, relação dos lados com a nomenclatura de figuras, fórmula para o cálculo da área do retângulo, área do retângulo, área do quadrado.

Área do setor circular

Como obter a fórmula e calcular a área de uma região circular

Área do trapézio

Você sabe o que é um trapézio? Clique e aprenda a calcular área do trapézio!

Área do triângulo

Clique e veja a fórmula usada para calcular a área do triângulo, o modo como essa fórmula é obtida e alguns exemplos resolvidos e comentados.

Área do triângulo equilátero

Obtendo a fórmula para o cálculo da área do triângulo equilátero

Bissetriz e incentro de um triângulo

Compreendendo as relações da bissetriz e incentro em um triângulo. Traçando uma circunferência inscrita no triângulo através do incentro.

Casos de congruência de triângulos

Conheça os quatro casos de congruência de triângulos e aprenda a utilizá-los corretamente por meio de exemplos de cada caso.

Círculos

Clique e descubra o que são círculos e saiba como calcular a área, o perímetro e a área do setor circular dessas figuras geométricas.

Circunferência

Confira aqui a definição dos elementos presentes em uma circunferência!

Circunferência e círculo: definições e diferenças básicas

Aprenda as definições e as diferenças básicas entre os círculos e as circunferências, figuras muito semelhantes que podem causar confusão.

Classificação de Polígonos

Você sabe fazer a classificação de polígonos em relação ao número de lados? Aprenda dicas para nomear os polígonos.

Classificação de triângulos

Os triângulos estão presentes na nossa realidade. Será que é possível realizar a classificação de triângulos?

Componentes do triângulo retângulo

Elementos do triângulo retângulo, conceitos básicos, porém de grande importância.

Condição de existência de um triângulo

Clique e aprenda a condição de existência de um triângulo, também chamada de desigualdade triangular.

Congruência de figuras geométricas

Aprenda como definir a congruência de figuras geométricas planas analisando exemplos comentados.

Diagonais de um polígono convexo

Saiba como determinar o número de diagonais de um polígono

Elementos de um Triângulo

Clique aqui e conheça os mais notáveis elementos de um triângulo!

Feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal

Clique e descubra o que é um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal e aprenda as principais propriedades dessa construção.

Fórmula de Heron

Clique aqui e aprenda quando e como utilizar a fórmula de Heron!

Perímetro da circunferência

perímetro de uma circunferência, o que é perímetro, comprimento de uma circunferência, diâmetro de uma circunferência, raio de uma circunferência, valor de Pi, cálculo do comprimento de uma circunferência.

Polígonos

Clique para entender o que são polígonos, suas características e tipos!

Polígonos convexos

Clique e aprenda o que são polígonos convexos, quais seus elementos mais importantes e suas propriedades mais usadas e conhecidas.

Polígonos regulares

Clique e descubra o que são polígonos regulares, obtenha exemplos e aprenda suas principais propriedades envolvendo as medidas de seus ângulos.

Polígonos semelhantes

Veja alguns casos de polígonos semelhantes e algumas propriedades decorrentes da semelhança entre eles.

Ponto de intersecção entre duas retas concorrentes

Aprenda a encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre duas retas concorrentes.

Posições relativas entre duas circunferências

Saiba quais são os tipos de posições relativas entre duas circunferências!

Posições relativas entre duas retas

Clique para aprender as posições relativas entre duas retas e entenda a sua dependência com o número de interações entre essas figuras.

Propriedades do Paralelogramo

Relacionando as características de um paralelogramo.

Propriedades do triângulo isósceles e do equilátero

Conheça algumas propriedades comuns aos triângulos isósceles e equiláteros, além de algumas diferenças básicas entre eles.

Quadrados

Aprenda o que são quadrados e como essas figuras estão relacionadas com os paralelogramos, dos quais herdam características e propriedades.

Quadriláteros

Clique e aprenda o que são quadriláteros e o modo como essas figuras que possuem quatro lados são classificadas.

Relações métricas no quadrado inscrito

Clique para aprender a encontrar as medidas do apótema e do lado de um quadrado inscrito a partir de suas relações métricas.

Reta numérica

Clique para aprender o que é uma reta numérica, como ela pode ser construída, sua definição formal e alguns objetos que utilizam seus princípios.

Retângulos

Clique para conhecer as propriedades e características dos retângulos, figuras geométricas que possuem quatro lados.

Retas

Clique para aprender o que são retas e algumas de suas propriedades e classificações básicas!

Semelhança de triângulos

Clique para aprender os três casos de semelhança de triângulos, um método que permite garantir a semelhança sem tomar todas as medidas!

Soma dos ângulos de um Triângulo

Aprenda a encontrar a soma dos ângulos de um triângulo qualquer utilizando um princípio muito simples.

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo

A fim de compreender os conceitos de ângulos e de polígonos convexos, devemos estudar as somas dos ângulos internos e externos de um polígono qualquer.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Fórmula para o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono

Tangram

O que é Tangram, como surgiu o Tangram, características do Tangram, o Tangram e o desenvolvimento da criatividade.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras e o surgimento dos números irracionais.

Teorema de Tales

Tales de Mileto desenvolveu uma teoria matemática que ficou conhecida como: Teorema de Tales. Confira!

Triângulos

Clique para aprender o que são triângulos e conheça os elementos, principais características e propriedades dessas figuras geométricas poligonais.

Valor de pi

Descubra o valor de pi, número relacionado com o comprimento dos círculos. Conheça uma aproximação desse decimal infinito e aprenda também uma forma de calcular o valor aproximado desse número. Esse método, criado por Arquimedes, utiliza polígonos inscritos e circunscritos em uma circunferência.