Geometria espacial

A geometria espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos e a geometria no espaço. Pensar na geometria com objetos tridimensionais é buscar compreender o mundo em que vivemos, logo a geometria espacial tem como objetivo entender as formas de objetos em três dimensões.

A geometria plana, que se volta para objetos em duas dimensões, é a base para uma série de conceitos da geometria espacial, sendo essencial o domínio de uma para compreender a outra. A geometria espacial surge a partir de elementos primitivos, que são assim chamados por não possuírem uma definição. São eles: o ponto, a reta, o plano e o espaço.

Tendo como base os elementos primitivos, podemos desenvolver uma série de conceitos importantes e conhecer as formas, como os poliedros e os corpos redondos. Além de conhecer esses sólidos, é importante compreender o cálculo de volume e de área total, pois cada sólido geométrico possui sua fórmula específica.

Leia também: Quais são as dimensões do espaço?

A geometria espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos.
A geometria espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos.

Conceitos básicos da geometria espacial

Os primeiros conceitos que precisamos entender são os elementos primitivos da geometria espacial. Eles não possuem definição, mas conseguimos intuitivamente reconhecê-los. É a partir deles que temos todos os conceitos da geometria. Os elementos primitivos são a reta, o ponto, o plano e o espaço.

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As noções de semirreta, segmento de reta e até mesmo a de ângulo surgem a partir desses elementos. Com base neles, também podemos definir conceitos mais avançados, como sólidos geométricos, volume, área total etc.

Então começaremos reconhecendo a representação desses elementos primitivos.

  • Pontos

Os pontos são representados por letras maiúsculas do alfabeto.
Os pontos são representados por letras maiúsculas do alfabeto.
  • Reta

A reta é representada por letras minúsculas do alfabeto.
A reta é representada por letras minúsculas do alfabeto.
  • Plano

O plano é representado por letras do alfabeto grego.
O plano é representado por letras do alfabeto grego.
  • Espaço

O espaço possui três dimensões.
O espaço possui três dimensões.

Pensando nos elementos primitivos, o ponto, a reta e o plano são objetos também da geometria plana. Na geometria espacial, estudamos o comportamento desses elementos no espaço, ou seja, em um universo tridimensional.

Veja também: Quais são as possíveis posições relativas entre reta e plano?

Figuras da geometria espacial

Na geometria espacial, são estudados os sólidos geométricos. Os mais estudados são divididos em dois grupos: os poliedros e os corpos redondos.

  • Poliedros

Poliedros são sólidos geométricos compostos com faces formadas por polígonos. Todo poliedro é composto por vértices, faces e arestas.

Os poliedros possuem vértice, face e aresta.
Os poliedros possuem vértice, face e aresta.

As faces são os polígonos que formam o sólido geométrico — nesse caso, são os retângulos que formam o sólido. As arestas são os segmentos de reta que ligam os vértices do sólido. Podemos notar também que a aresta é o lado do polígono que forma a face do poliedro. Já os vértices são os pontos formados pelo encontro de três ou mais arestas.

Os principais poliedros são as pirâmides e os prismas. Existem pirâmides de base triangular, quadrada, pentagonal, etc. Já os prismas mais conhecidos são o cubo e o paralelepípedo, mas também há prismas de base triangular, pentagonal, entre outros.

Prisma e pirâmide
Prisma e pirâmide
  • Corpos redondos

Os corpos redondos são sólidos geométricos que possuem superfícies curvas, logo não possuem vértice, face e aresta. Conhecidos também como sólidos de revolução, os principais corpos redondos são o cilindro, o cone e a esfera.

Veja também: Projeções ortogonais – imagens de figuras geométricas ou elementos matemáticos projetadas em um plano

Cilindro, cone e esfera são os principais sólidos de revolução.
Cilindro, cone e esfera são os principais sólidos de revolução.

Fórmulas da geometria espacial

Todos esses sólidos geométricos possuem fórmulas específicas para o cálculo de volume (V) e da área total (At).

  • Prisma

Prisma de base triangular e hexagonal
Prisma de base triangular e hexagonal

Para os prismas, é possível perceber que a sua área da base pode ser diferente de um formato para o outro, logo a área total e o volume dependem diretamente da área da base.

V = Ab· h

At = 2Ab + Al

Ab → área da base

Al → área lateral

h → altura

  • Pirâmide

Pirâmides de base quadrada e pentagonal
Pirâmides de base quadrada e pentagonal

Assim como os prismas, a base da pirâmide pode ser diferente, logo o volume depende diretamente da base.

Ab → área da base

Al → área lateral

h → altura

  • Cilindro

O cilindro sempre possui base circular, logo sua área total e seu volume dependem somente da altura (h) e do raio (r) do cilindro.

V = πr² ·h

At = 2πr ( r + h)

  • Cone

Geratriz de um cone
Geratriz de um cone

Com base também circular, o volume do cone depende somente da sua altura e de seu raio. Porém, para encontrar a sua área total, é necessário encontrar a geratriz do cone.

Geratriz de um cone
Geratriz de um cone

Logo, no cone, há três fórmulas importantes. Uma delas é para encontrar a geratriz (g), e as outras são as já conhecidas dos outros poliedros, isto é, fórmulas de volume e de área total.

g² = r² + h²

At = πr (r+ g)

  • Esfera

Para calcular o volume e a área total da esfera, é necessário conhecer o valor do raio. As fórmulas são:

At = 4πr²

Veja também: Temas de matemática que mais caem no Enem

Diferença entre geometria espacial e geometria plana

É importante entender que todos os elementos e estudos realizados na geometria plana servem de base e preparação para o estudo da geometria espacial. Então, não são “mundos” totalmente separados, já que a geometria espacial é uma extensão da geometria plana, que é bidimensional, só que agora pensada em um universo tridimensional.

Para construir a pirâmide, por exemplo, a sua base é formada por um polígono, que é um objeto estudado na geometria plana, e as faces laterais são formadas por triângulos. A junção desses elementos da geometria plana permite a construção de um sólido geométrico, que é estudado na geometria espacial. Logo, ambos estão totalmente ligados. A principal diferença entre a geometria plana e a geometria espacial está na quantidade de dimensões estudadas.

As figuras planas são bidimensionais.
As figuras planas são bidimensionais.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

A) 0,5

B) 1,0

C) 2,0

D) 3,5

E) 8,0

Resolução

Alternativa C.

Dados: h = 3, π = 3 e V = 81m³.

O volume do cilindro é calculado por:

Sabendo que o diâmetro antigo era 2 e como o raio é metade do diâmetro, o raio antigo era igual a 1.

Logo, de 1 para 3, houve um aumento de 2 metros.

Questão 2 – (Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na figura 2 é:

A) tetraedro.

B) pirâmide retangular.
C) tronco de pirâmide retangular.

D) prisma quadrangular reto.

E) prisma triangular reto.

Resolução

Alternativa E. A figura 2 possui duas bases triangulares e ângulos retos, logo é um prisma triangular reto.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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