A calota esférica é um sólido geométrico resultante da interseção de uma esfera por um plano, dividindo-a em dois sólidos distintos. Assim como a esfera, a calota esférica apresenta uma forma arredondada, sendo, portanto, um corpo redondo.
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Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre calota esférica
- 2 - O que é calota esférica?
- 3 - Elementos da calota esférica
- 4 - Como calcular o raio da calota esférica?
- 5 - Como se calcula a área da calota esférica?
- 6 - Como se calcula o volume da calota esférica?
- 7 - Calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?
- 8 - Calota esférica, fuso esférico e cunha esférica
- 9 - Exercícios resolvidos sobre calota esférica
Resumo sobre calota esférica
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A calota esférica é um objeto tridimensional que se forma quando uma esfera é cortada por um plano.
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No caso em que o plano divide a esfera ao meio, as calotas esféricas são denominadas hemisférios.
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Seus elementos são a altura da calota esférica, o raio da esfera e o raio da calota esférica.
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Com o teorema de Pitágoras, é possível obter uma relação entre a altura da calota esférica, o raio da esfera e o raio da calota esférica:
\(r^2+(R-h)^2=R^2\)
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A área da calota esférica é dada pela fórmula:
\(A=2πrh \)
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Para calcular o volume da calota, a fórmula é:
\(V=\frac{πh^2}3⋅(3r-h)\)
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Diferentemente de um poliedro, que possui faces formadas por polígonos, a calota esférica tem sua base formada por um círculo, e por isso é um corpo redondo.
O que é calota esférica?
Também chamada de calota de uma esfera, a calota esférica é a parte da esfera obtida quando essa figura é interceptada por um plano. Quando interceptamos a esfera por um plano, ela é dividida em duas calotas esféricas. Então a calota esférica possui uma base circular e uma superfície arredondada, motivo pelo qual ela é um corpo redondo.
Importante: Ao dividir a esfera ao meio, formamos dois hemisférios.
Elementos da calota esférica
Para calcular área e volume envolvendo a calota esférica, existem três medidas importantes, são elas: o comprimento do raio da calota esférica, o comprimento do raio da esfera e, por fim, a altura da calota esférica.
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h → altura da calota esférica
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R → raio da esfera
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r → raio da calota esférica
Como calcular o raio da calota esférica?
Ao analisar os elementos da calota esférica, é possível utilizar o teorema de Pitágoras para obter uma relação entre a altura da calota esférica, o raio da esfera e o raio da calota esférica.
Note que, no triângulo retângulo, temos que:
\(r^2+(R-h)^2=R^2\)
Exemplo:
Uma calota esférica possui altura medindo 4 cm. Se essa esfera possui raio medindo 10 cm, qual será a medida da calota esférica?
Resolução:
Sabemos que h = 4 e que R = 10, então temos que:
\(r^2+(10-4)^2=100\)
\(r^2+6^2=100\)
\(r^2+36=100\)
\(r^2=100-36\)
\(r^2=64\)
\(r=\sqrt{64}\)
\(r=8\ cm\)
Então a medida do raio da calota esférica é de 8 cm.
Como se calcula a área da calota esférica?
Conhecendo a medida do raio da esfera e da altura da calota esférica, a área da calota esférica é calculada pela fórmula:
\(A=2πRh \)
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R → raio da esfera
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h → altura da calota esférica
Exemplo:
Uma esfera possui raio medindo 12 cm e a calota esférica possui altura igual a 8 cm. Qual é a área da calota esférica? (Use π = 3,1)
Resolução:
Calculando a área, temos que:
\(A=2πRh \)
\(A=2⋅3,1⋅12⋅8\)
\(A=6,1⋅96\)
\(A=585,6\ cm^2\)
Como se calcula o volume da calota esférica?
Existem duas fórmulas diferentes para se calcular o volume de uma calota esférica. Uma das fórmulas depende da medida do raio da calota esférica e da sua altura:
\(V=\frac{πh}6 (3r^2+h^2 )\)
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r → raio da calota esférica
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h → altura da calota esférica
A outra fórmula utiliza o raio da esfera e a altura da calota esférica:
\(V=\frac{πh^2}3 (3R-h)\)
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R → raio da esfera
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h → altura da calota esférica
Importante: A fórmula que utilizaremos para calcular o volume da calota esférica depende dos dados que temos sobre a calota esférica.
Exemplo 1:
Uma calota esférica possui 12 cm de altura e o seu raio medindo 8 cm. Qual o volume dessa calota esférica?
Resolução:
Como conhecemos r = 8 cm e h = 12 cm, utilizaremos a fórmula:
\(V=\frac{πh}6 (3r^2+h^2 )\)
\(V=\frac{π\cdot 12}6 (3\cdot 8^2+12^2 )\)
\(V=2π(3⋅64+144)\)
\(V=2π(192+144)\)
\(V=2π⋅336\)
\(V=672π\ cm^3\)
Exemplo 2:
De uma esfera com raio medindo 5 cm, foi construída uma calota esférica com 3 cm de altura. Qual o volume dessa calota esférica?
Resolução:
Nesse caso, temos R = 5 cm e h = 3 cm, logo, utilizaremos a fórmula:
\(V=\frac{πh^2}3 (3R-h)\)
Substituindo os valores conhecidos:
\(V=\frac{π\cdot 3^2}3 (3\cdot 5-3)\)
\(V=\frac{9π}3 (15-3)\)
\(V=3π⋅12\)
\(V=36π\ cm^3\)
Veja também: Como calcular o volume de um tronco de cone?
Calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?
A calota esférica é considerada um corpo redondo ou um sólido de revolução porque ela possui uma base circular e uma superfície arredondada. É importante ressaltar que, diferentemente de um poliedro, que possui faces formadas por polígonos, a calota esférica tem sua base formada por um círculo.
Calota esférica, fuso esférico e cunha esférica
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Calota esférica: é a parte de uma esfera cortada por um plano, como na imagem a seguir:
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Fuso esférico: é parte da superfície de uma esfera formada pela rotação de uma semicircunferência em determinado ângulo, como na imagem a seguir:
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Cunha esférica: é um sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo, como na imagem a seguir:
Exercícios resolvidos sobre calota esférica
Questão 1
Qual alternativa melhor define a calota esférica:
A) É quando dividimos a esfera ao meio por um plano, sendo também conhecida como hemisfério.
B) É um corpo redondo que possui base circular e superfície arredondada.
C) É um poliedro com faces formadas por círculos.
D) É um sólido geométrico obtido quando rotacionamos uma semicircunferência
Resolução:
Alternativa B
A calota esférica é um corpo redondo que possui base circular e superfície arredondada.
Questão 2
De uma esfera de raio medindo 6 metros, formou-se uma calota esférica com 2 metros de altura. Utilizando 3,14 como aproximação de π, a medida da área dessa calota esférica é:
A) 13,14 cm³
B) 22,84 cm³
C) 37,68 cm³
D) 75,38 cm³
E) 150,72 cm³
Resolução:
Alternativa D
Calculando a área da calota esférica:
\(A=2πRh\)
\(A=2⋅3,14⋅6 ⋅2\)
\(A=6,28⋅12 \)
\(A=75,38\ m^3\)
Fonte
DANTE, Luiz Roberto, Matemática, volume único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005.
