Tronco de pirâmide

O tronco de pirâmide é a parte inferior da pirâmide resultante da secção a uma altura h com um plano paralelo à sua base.

Tronco de pirâmide é o sólido da parte inferior da pirâmide resultante de uma secção transversal.
Tronco de pirâmide é o sólido da parte inferior da pirâmide resultante de uma secção transversal.

Tronco de pirâmide é o sólido geométrico formado pela parte inferior de uma pirâmide quando realizada uma secção transversal nesse poliedro. Secção transversal é um corte paralelo à base de uma figura que a divide em dois novos sólidos. A parte superior forma uma nova pirâmide, menor do que a anterior, e a parte inferior forma o tronco de pirâmide. Os elementos do tronco de pirâmide são as suas bases maior e menor e a sua altura, fundamentais para o cálculo de seu volume e área total.

Veja também: Quais são os sólidos de Platão?

Resumo sobre tronco de pirâmide

  • O tronco da pirâmide é a parte inferior da pirâmide obtida a partir da secção transversal da figura.

  • Os principais elementos do tronco de pirâmide são a base maior, a base menor e a altura.

  • A área total do tronco de pirâmide é igual à soma das áreas laterais com a área da base menor e a área da base maior.

A = AB + Ab + Al

  • O volume do tronco de pirâmide é calculado pela fórmula:

\(V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_b+A_B+\sqrt{A_b\cdot A_B}\right)\)

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O que é o tronco de pirâmide?

O tronco de pirâmide é o sólido geométrico da parte inferior da pirâmide obtido por meio da sua secção transversal, ou seja, um corte paralelo à base.

 Ilustração da secção transversal de uma pirâmide formando o tronco de pirâmide.

Quais são os elementos do tronco de pirâmide?

Os principais elementos do tronco de pirâmide são a base maior, a base menor e a altura. Veja, na imagem a seguir, como identificar cada um desses elementos.

Ilustração do tronco de pirâmide com seus elementos destacados.

Assim como a pirâmide, o tronco de pirâmide pode ter diversas bases. No exemplo acima há um tronco de pirâmide com base quadrada, porém existem diferentes tipos, com base:

  • triangular;

  • pentagonal;

  • hexagonal.

Além desses, há ainda outros tipos.

Tronco de pirâmide de base hexagonal e tronco de pirâmide de base pentagonal.
Tronco de pirâmide de base hexagonal e tronco de pirâmide de base pentagonal.

As bases do tronco de pirâmide podem ser formadas por qualquer polígono. Sendo assim, para calcular a sua área, é necessário conhecimento sobre figuras planas (Geometria Plana), pois cada figura possui uma fórmula específica para o cálculo de sua área.

Saiba mais: Quais são os elementos do tronco de cone?

Como se calcula a área de um tronco de pirâmide?

Para calcular a área total do tronco de pirâmide, utiliza-se a fórmula a seguir:

AT = AB + Ab + Al

  • AT → área total

  • Ab → área da base menor

  • AB → área da base maior

  • Al → área lateral

Observe que a área é calculada por meio da soma da área da base menor com a área da base maior e a área lateral.

Exemplo de cálculo da área do tronco de pirâmide

Um tronco de pirâmide possui base maior formada por um triângulo retângulo com catetos medindo 20 cm e 15 cm e base menor com catetos iguais a 4 cm e 3 cm. Sabendo que a sua área lateral é composta por 3 trapézios, cujas áreas são 120 cm², 72 cm² e 96 cm², qual o valor da área total desse poliedro?

  • Resolução:

Calculando a área das bases, que são triângulos:

\(A_b=\frac{4\cdot3}{2}=\frac{12}{2}=6\ cm²\)

\(A_B=\frac{20\cdot15}{2}=\frac{300}{2}=150\ cm²\)

Calculando a área lateral:

\(A_l=120+72+96=288cm^2\)

Assim, a área total do tronco de pirâmide é de:

\(288\ +\ 150\ +\ 6\ =\ 444\ cm²\)

Videoaula sobre área de tronco de pirâmide

Como se calcula o volume do tronco de pirâmide?

Para calcular o volume do tronco de pirâmide, utiliza-se a fórmula:

\(V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_b+A_B+\sqrt{A_b\cdot A_B}\right)\)

  • V → volume

  • h → altura

  • Ab → área da base menor

  • AB → área da base maior

Exemplo de cálculo do volume do tronco de pirâmide

Um tronco de pirâmide possui bases hexagonais. A área da base maior e a área da base menor são, respectivamente, 36 cm² e 16 cm². Sabendo que essa figura possui 18 cm de altura, qual o seu volume?

  • Resolução:

Calculando o volume do tronco de pirâmide:

\(V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_b+A_B+\sqrt{A_b\cdot A_B}\right)\)

\(V=\frac{18}{3}\cdot\left(16+36+\sqrt{16\cdot36}\right)\)

\(V=6\ \cdot\left(16+36+4\cdot6\right)\)

\(V=6\ \cdot\left(16+36+24\right)\)

\(V=6\ \cdot\left(16+36+24\right)\)

\(V\ =\ 6\ \cdot76\)

\(V\ =\ 456\ cm³\)

Videoaula sobre volume de tronco de pirâmide

Exercícios resolvidos sobre tronco de pirâmide

Questão 1

Considerando que o tronco de pirâmide a seguir possui base quadrada, calcule a sua área total.

 Ilustração de um tronco de pirâmide com base maior com 8 cm, base menor com 4 cm e altura com 6 cm.

A) 224 cm³

B) 235 cm³

C) 240 cm³

D) 258 cm³

E) 448 cm³

Resolução:

Alternativa A

Calcularemos cada uma das suas áreas, começando pelas áreas da base maior e da base menor. Como elas são quadradas, temos que:

\(A_B=8^2=64\)

\(A_b=4^2=16\)

A área lateral é formada por 4 trapézios idênticos, com base maior medindo 8 cm, base menor medindo 4 cm e altura medindo 6 cm.

O valor da área lateral é:

\(A_l=4\cdot\frac{\left(B+b\right)h}{2}\)

\(A_l=4\frac{\left(8+4\right)\cdot6}{2}\)

\(A_l=4\cdot\frac{12\cdot6}{2}\)

\(A_l=\frac{4\cdot72}{2}\ \)

\(A_l=2\cdot72\)

\(A_l=144\)

Dessa forma, a área total do poliedro é igual a:

\(A_T=144+64+16\)

\(A_T=224\ cm^3\)

Questão 2

Analise o sólido geométrico a seguir.

Ilustração de um tronco de pirâmide em cinza-claro.

Esse sólido geométrico é conhecido como:

A) prisma de base quadrada.

B) pirâmide de base quadrada.

C) trapézio de base quadrada.

D) tronco de pirâmide de base quadrada.

E) tronco de cone de base trapezoidal.

Resolução:

Alternativa D

Analisando esse sólido, é possível verificar que se trata de um tronco de pirâmide de base quadrada. Note que ele possui duas bases de tamanhos diferentes, uma característica dos troncos de pirâmide.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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