Triângulo retângulo

Triângulo retângulo é o triângulo mais estudado na geometria plana. Possui propriedades e teoremas importantes, como o estudo da trigonometria e o teorema de Pitágoras.

Triângulo retângulo
Triângulo retângulo

Triângulo retângulo é o que possui um de seus ângulos internos medindo 90°, ou seja, um ângulo reto. O triângulo é o polígono mais estudado na geometria plana, principalmente o triângulo retângulo, que possui relações específicas entre os seus lados e ângulos. Uma dessas relações é o teorema de Pitágoras, que demonstra uma relação entre os lados dessa figura.

Além do teorema de Pitágoras, existem outras relações importantes, como as relações métricas e a trigonometria, com as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, no triângulo retângulo. Ele possui uma fórmula para o cálculo da sua área, que é a mesma utilizada para outros triângulos. Para calcular o seu perímetro, basta realizar a soma dos seus lados.

Leia mais: Relações fundamentais da trigonometria — igualdades pelas quais se relaciona as razões: seno, cosseno e tangente

Resumo sobre triângulo retângulo

  • É o triângulo que possui um ângulo interno de 90°, ou seja, um ângulo reto.

  • O teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados do triângulo retângulo.

  • Para calcular sua área, multiplicamos a sua base pela sua altura e dividimos por 2.

  • Para encontrar o comprimento de lados desconhecidos nele, podemos usar também as relações métricas e a trigonometria.

Características do triângulo retângulo

O triângulo retângulo é um polígono de três lados e três ângulos que possui um de seus ângulos internos medindo 90°, ou seja, ele é reto. Com isso, os demais ângulos são agudos, ou seja, menores que 90°. Em um triângulo, o maior lado, que fica sempre oposto ao ângulo de 90º, recebe o nome de hipotenusa, e os demais lados são conhecidos como catetos.

Triângulo retângulo com seus catetos e hipotenusa marcados

  • O ângulo CAB é de 90°.

  • O lado CB é a hipotenusa de comprimento a.

  • Os lados AC e AB são os catetos, com comprimentos representados por b e c.

Caso queira saber mais sobre o tema deste tópico, leia: Os componentes do triângulo retângulo.

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Perímetro do triângulo retângulo

Assim como os demais polígonos, no triângulo retângulo, o perímetro é a soma do comprimento de todos os seus lados. Então, dado o triângulo retângulo com lados medindo a, b e c, seu comprimento será calculado por:

P = a + b + c

Área do triângulo retângulo

Em um triângulo qualquer, para calcular a sua área, multiplicamos a sua base pela altura e dividimos por 2. A única peculiaridade que o triângulo retângulo tem, quando comparado aos demais triângulos, é que a sua altura coincide com um dos seus catetos, pois sabemos que os catetos formam um ângulo reto entre eles. Então, para calcular a área do triângulo de hipotenusa de comprimento a e catetos de comprimento b e c, utilizamos a fórmula:

Fórmula da área do triângulo retângulo

Exemplo: dado um triângulo retângulo, de lados medindo 20 cm, 21 cm e 29 cm, o seu perímetro e a sua área terão que valor?

Resolução:

Começando pelo perímetro, sabemos que:

P = 29 + 21 + 20 = 60 cm

Agora, para calcular a área, sabemos que o maior lado é a hipotenusa, logo, vamos fazer o cálculo utilizando os outros dois lados, que medem 21 cm e 20 cm cada, então, temos que:

Cálculo da área de um triângulo retângulo com lados medindo 21 cm e 20 cm

Desse modo, a área será de 210 cm².

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um triângulo retângulo. O teorema diz que a hipotenusa ao quadrado é igual à soma do quadrado dos catetos. Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, temos que:

a² = b² + c²

Exemplo: encontre o valor de x no triângulo retângulo a seguir.

Triângulo retângulo com lados medindo 6 e 8

Resolução:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

x² = 6² + 8²

x² = 36 + 64

x² = 100

x = √100

x = 10

  • Videoaula sobre teorema de Pitágoras

Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria no triângulo retângulo é uma área da matemática que estuda a relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Nesse estudo, aprende-se que as razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente, que são as razões entre os lados do triângulo. Antes de conhecer cada uma delas, é importante compreender o que são os catetos adjacente e oposto de um ângulo.

Triângulo retângulo com seus lados e ângulos marcados

Sabemos que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°, no caso, é o segmento BC. Os lados AB e AC são conhecidos como catetos, e, dependendo do ângulo, pode se tratar de um cateto oposto a ele ou um cateto adjacente a ele.

No ângulo α, o lado AC é o cateto oposto ao ângulo (pois está de frente ao ângulo), e o lado AB é o cateto adjacente ao ângulo (pois é um dos segmentos que formam o ângulo).

No ângulo β, o lado AB é o cateto oposto a ele (pois está de frente ao ângulo), e o lado AC é o cateto adjacente a ele (pois é um dos segmentos que formam o ângulo).

As razões seno, cosseno e tangente são:

Razões trigonométricas seno, cosseno e tangente

Utilizamos as razões trigonométricas para encontrar o comprimento de lados desconhecidos do triângulo retângulo. Para tanto, veja a tabela com o valor do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, de 30°, 45° e 60°.

Tabela dos ângulos notáveis
Tabela dos ângulos notáveis

Conhecendo o valor das razões trigonométricas do triângulo, dados um lado e um ângulo notável, é possível encontrar todos os lados de um triângulo retângulo com base na trigonometria.

Exemplo: encontre o valor de x.

Triângulo retângulo com hipotenusa medindo 20 e ângulo de 60º

Queremos encontrar o valor x, sendo que x é o cateto adjacente ao ângulo B, e conhecemos também o valor da hipotenusa desse triângulo, então a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa é o cosseno. Sabendo que o cosseno de 60° é igual a 1/2, temos que:

Cálculo do cosseno de 60º, com cateto adjacente x e hipotenusa medindo 20

Relações métricas no triângulo retângulo

As relações métricas, como o nome sugere, são fórmulas que relacionam os segmentos de um triângulo retângulo.

Triângulo retângulo com seus segmentos marcados

As relações métricas são:

a² = c² + b²

b² = a · n

c² = a · m

h² = m · n

a = m + n

a · h = b · c

  • Videoaula sobre relações métricas no triângulo retângulo

Exercícios resolvidos sobre triângulo retângulo

Questão 1

Um terreno possui o formato de um retângulo de lados medindo 20 m e 21 m. Esse terreno será divido ao meio entre dois irmãos, Caio e Cauan. Caso Caio decida cercar a sua parte do terreno, o perímetro dela terá:

A) 60 metros

B) 55 metros

C) 41 metros

D) 38 metros

E) 35 metros

Resolução:

Alternativa A

Sabendo que esse terreno possui formato de retângulo, se traçarmos a sua diagonal, ele será dividido em dois triângulos retângulos. Para calcular o comprimento da diagonal, basta aplicar o teorema de Pitágoras:

d² = 20² + 21²

d² = 400 + 441

d² = 841

d = √841

d = 29 m

Conhecendo o comprimento da diagonal, para encontrar seu perímetro, temos que:

P = 20 + 21 + 29 = 60 metros

Questão 2

(Enem) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Triângulo retângulo divido com ângulos de 60º e 30º e bases de 1,8 km e 3,7 km

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

A) 1,8 km

B) 1,9 km

C) 3,1 km

D) 3,7 km

E) 5,5 km

Resolução:

Alternativa C

Analisando a imagem, podemos perceber que a altura h pode ser dada pela tangente de 60º.

Cálculo da tangente de 60º com base medindo 1,8 km

Assim, a altura é de aproximadamente 3,1 km.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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