Triângulos

Triângulo é o polígono que possui três lados e três ângulos. Existem diferentes tipos de triângulo, como o retângulo, o equilátero, entre outros.

O triângulo é um polígono que possui três lados.
O triângulo é um polígono que possui três lados.

Chamamos de triângulo o polígono que possui três lados. Sendo o polígono com o menor número de lados, ele é o mais simples, porém com uma vasta aplicação no cotidiano. Os principais elementos de um triângulo são seus três lados e três ângulos.

Podemos classificar os triângulos analisando os seus lados (equilátero, isósceles e escaleno) ou de acordo com os seus ângulos (retângulo, acutângulo ou obtusângulo). Em um triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.

Para calcular o perímetro desse polígono, basta somar os seus lados. Já para obter o valor da área, calculamos o produto entre os comprimentos da base e da altura e dividimos o resultado por dois. Quando existem três segmentos, há uma condição para que eles formem um triângulo, conhecida como condição de existência de um triângulo.

Leia também: Quadrados — quadriláteros cujos lados e ângulos são congruentes

Resumo sobre triângulos

  • O triângulo é um polígono.

  • O triângulo possui três lados e três ângulos.

  • A soma dos seus ângulos internos é igual a 180°.

  • Quando analisamos os ângulos de um triângulo, podemos classificá-los como:

    • Retângulo: possui um ângulo interno de 90°;

    • Acutângulo: possui os ângulos internos agudos;

    • Obtusângulo: possui um ângulo interno obtuso.

  • Quando analisamos os lados de triângulos, existem três classificações possíveis:

    • Equilátero: possui todos os lados congruentes;

    • Isósceles: possui dois lados congruentes;

    • Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

  • A condição de existência para um triângulo é que a soma do comprimento de dois lados é sempre maior que o terceiro lado.

  • Como nos demais polígonos, o perímetro de um triângulo é igual à soma dos seus três lados.

  • Para calcular a área do triângulo, utilizamos a fórmula:

Fórmula da área do triângulo

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Elementos de um triângulo

Para que uma figura geométrica seja conhecida como triângulo, é necessário que ela seja um polígono que possui exatamente três lados e três ângulos.

Triângulo ABC

  • Os segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo;

  • Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo;

  • Os ângulos α, β e ɣ são os ângulos internos do triângulo.

Condição de existência de triângulos

Três segmentos de reta podem ou não formar um triângulo. Para saber se é possível formar um triângulo conhecendo o comprimento desses três segmentos, é necessário verificar se a condição de existência do triângulo é atendida. Essa condição estabelece que a soma de dois lados é sempre menor que o terceiro lado.

Em um triângulo com lados medindo a, b e c, segundo a condição de existência, temos que:

a + b > c

b + c > a

a + c > b

Portanto, para verificar se é possível construir um triângulo conhecendo as medidas de seus segmentos, elas devem satisfazer a condição de existência.

  • Videoaula sobre condição de existência de triângulos

Propriedades do triângulo

Existem propriedades específicas para qualquer triângulo.

  • Dado um triângulo de ângulos internos α, β e ɣ, a soma desses ângulos é sempre igual a 180°, ou seja:

α + β + ɣ = 180°

  • Em um triângulo, o maior lado fica sempre oposto ao maior ângulo e o menor lado fica sempre oposto ao menor ângulo.

Seta aponta, em triângulo, a correspondência entre o maior lado e o maior ângulo.
O ângulo α é o maior ângulo do triângulo, e o lado oposto a α é o maior lado.

Classificação dos triângulos

Existem duas maneiras distintas de se classificar os triângulos. Uma delas é a classificação quanto aos ângulos e a outra é quanto a seus lados.

  • Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Quando analisamos seus ângulos, pode-se classificar um triângulo em três tipos diferentes:

  • triângulo acutângulo;

  • triângulo retângulo;

  • triângulo obtusângulo.

    • Triângulo acutângulo

Um triângulo é acutângulo quando todos os seus ângulos internos são agudos, ou seja, menores que 90°.

Triângulo acutângulo

  • Triângulo retângulo

Um triângulo é retângulo quando ele possui um ângulo interno reto, ou seja, igual a 90°.

Triângulo retângulo

  • Triângulo obtusângulo

Um triângulo é obtusângulo quando ele possui um ângulo interno obtuso, ou seja, maior que 90°.

Triângulo obtusângulo

  • Classificação dos triângulos quanto aos lados

Outra maneira de classificar os triângulos é fazendo a comparação entre as medidas dos seus lados. Nesse caso, também há três tipos de triângulos, sendo eles:

  • triângulo equilátero;

  • triângulo isósceles;

  • triângulo escaleno.

    • Triângulo equilátero

Um triângulo é equilátero quando ele possui os três lados congruentes, ou seja, todos os lados possuem a mesma medida.

Triângulo equilátero

  • Triângulo isósceles

Um triângulo é isósceles quando ele possui dois lados congruentes.

Triângulo isósceles

  • Triângulo escaleno

Um triângulo é escaleno quando ele possui todos os lados com medidas distintas.

Triângulo escaleno

Perímetro de triângulo

O perímetro é o comprimento do contorno de um polígono. Para saber o comprimento total do contorno de qualquer polígono, incluindo o triângulo, basta realizar a soma de todos os seus lados.

Triângulo com lados a, b e c

P = a + b + c

Exemplo:

Dado o triângulo a seguir, calcule o seu perímetro:

Triângulo ABC com lados iguais a 11 cm, 8 cm e 5 cm

Resolução:

P = 8 + 5 + 11 = 24 cm

Leia também: Propriedades do triângulo isósceles e do equilátero

Altura do triângulo

A altura é o segmento entre o vértice oposto a um lado e esse lado, formando um ângulo de 90° com a base do triângulo. Como qualquer um dos três lados do triângulo pode ser tratado como base, é possível traçar três alturas no triângulo, cada uma partindo de um vértice.

Triângulo com alturas delimitadas
As alturas do triângulo são os segmentos cujas medidas estão representadas por hA, hB e hC.

Área do triângulo

Para calcular a área de um triângulo, é necessário conhecer o comprimento da sua base e da altura relativa a essa base. Sendo b o comprimento da base e h o comprimento da altura, a área do triângulo é calculada por:

Triângulo com lados e altura delimitados

Fórmula da área dos triângulos

Exemplo:

Encontre a área de um triângulo que possui base medindo 18 cm e altura igual a 12 cm.

Resolução:

Cálculo de área de triângulo com base medindo 18 cm e altura igual a 12 cm.

Leia também: Casos de congruência de triângulos

Exercícios resolvidos sobre triângulos

Questão 1

Ao fazer pesquisas sobre desmatamento, o Inpe constatou que uma área de 10.476 km² foi desmatada. Para fazer a representação dessa área geometricamente, o melhor polígono a ser escolhido foi um triângulo, que possui base igual a 216 km. Portanto, a altura desse triângulo deve ser de:

A) 85 km.
B) 97 km.
C) 100 km.
D) 112 km.
E) 125 km.

Resolução:

Alternativa B

Considerando a área do terreno, temos que:

Cálculo de altura de triângulo com área igual a 10.476 km² e base igual a 216 km.

Questão 2

Sobre o triângulo, julgue as afirmativas a seguir:

I → Todo triângulo retângulo é escaleno.

II → Todo triângulo equilátero é acutângulo.

III → Um triângulo isósceles pode ser obtusângulo.

Estão corretas:

A) Somente a afirmativa I.

B) Somente a afirmativa II.

C) Somente a afirmativa III.

D) Somente as afirmativas I e II.

E) Somente as afirmativas II e III.

Resolução:

Alternativa E

I → (Falsa)

O triângulo retângulo pode ser escaleno ou isósceles. Logo, nem todo triângulo retângulo é escaleno.

II → (Verdadeira)

O triângulo equilátero possui ângulos internos congruentes (180 : 3 = 60°). Como cada um deles mede 60°, todos os ângulos são agudos. Assim, o triângulo equilátero será sempre acutângulo.

III → (Verdadeira)

O triângulo isósceles possui dois lados congruentes. Dessa forma, dois de seus ângulos são congruentes também, o que torna possível que exista um triângulo isósceles que seja obtusângulo.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos relacionados

Baricentro do triângulo

Entenda o que é o baricentro do triângulo e aprenda a calculá-lo. Conheça também as principais propriedades desse ponto notável.

Casos de congruência de triângulos

Conheça os quatro casos de congruência de triângulos e aprenda a utilizá-los corretamente por meio de exemplos de cada caso.

Classificação de triângulos

Os triângulos estão presentes na nossa realidade. Será que é possível realizar a classificação de triângulos?

Condição de existência de um triângulo

Clique e aprenda a condição de existência de um triângulo, também chamada de desigualdade triangular.

Elementos de um Triângulo

Clique aqui e conheça os mais notáveis elementos de um triângulo!

Propriedades do triângulo isósceles e do equilátero

Conheça algumas propriedades comuns aos triângulos isósceles e equiláteros, além de algumas diferenças básicas entre eles.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo

Semelhança de triângulos

Clique para aprender os três casos de semelhança de triângulos, um método que permite garantir a semelhança sem tomar todas as medidas!

Seno através da semelhança de triângulos

Estudando os casos de semelhança de triângulos e compreendendo a relação desses lados semelhantes através do seno de um ângulo.

Soma dos ângulos de um Triângulo

Aprenda a encontrar a soma dos ângulos de um triângulo qualquer utilizando um princípio muito simples.

Triângulo isósceles

Entenda o que é um triângulo isósceles, conheça as principais propriedades desse tipo de figura geométrica e aprenda quais são as suas propriedades e fórmulas.

Triângulo retângulo

Conheça o triângulo retângulo clicando aqui! Aprenda a aplicar o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo. Resolva questões sobre o tema.

Área do triângulo

Clique e veja a fórmula usada para calcular a área do triângulo, o modo como essa fórmula é obtida e alguns exemplos resolvidos e comentados.