Triângulo isósceles

Conhecemos como triângulo isósceles um triângulo que possui dois lados congruentes e um lado não congruente. Analisando os lados de um triângulo, existem três classificações possíveis. Ele pode ser:

  • equilátero, quando todos os lados são congruentes;

  • escaleno, quando nenhum lado é congruente; ou

  • isósceles, quando dois lados são congruentes.

Em um triângulo isósceles, o lado que possui medida diferente é conhecido como base, e os outros lados são chamados de oblíquos. Existem propriedades importantes para esse tipo de figura, como os ângulos da base também serem congruentes, e a altura relativa à base ser também a mediana da base e a bissetriz.

Para calcular a área e o perímetro do triângulo isósceles, utilizamos a mesma fórmula usada para calcular a área e o perímetro de um triângulo qualquer.

Leia também: Qual é a condição de existência de um triângulo?

O triângulo isósceles possui dois lados congruentes.
O triângulo isósceles possui dois lados congruentes.

Triângulo isósceles

O triângulo é um polígono que possui três lados e é estudado na geometria plana. Quando essa figura geométrica possui exatamente dois lados congruentes, ela é conhecido como triângulo isósceles.

No triângulo ABC, temos que:

  • os lados AB e BC são congruentes;

  • o lado AC é a base do triângulo isósceles;

  • o ponto B é o vértice do triângulo;

  • os ângulos A e C são os ângulos da base e o ângulo B é o ângulo do vértice.

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Propriedades do triângulo isósceles

Existem propriedades específicas do triângulo isósceles, as quais resultam dos dois lados congruentes.

  • 1ª propriedade: os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Os ângulos da base são congruentes.
Os ângulos da base são congruentes.

Aplicaremos essa propriedade para encontrar o valor dos ângulos internos de um triângulo isósceles.

Exemplo:

Encontre o valor dos ângulos da base de um triângulo isósceles sabendo que o ângulo do seu vértice mede 50º.

Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre igual a 180º e que os ângulos da base do triângulos isósceles são congruentes. Então, seja x a medida de um deles, temos que:

x + x + 50 = 180

2x = 180 – 50

2x = 130

x = 130 : 2

x = 65º

  • 2ª propriedade: a altura da base é também a mediana da base e a bissetriz do vértice do triângulo.

Como consequência dessa propriedade, temos que:

⇒ segmentos AD e AC são congruentes;

⇒ ângulos ABD e CBD são congruentes.

  • 3ª propriedade: eixo de simetria.

Note que, se traçarmos a altura, estaremos dividindo o triângulo em dois triângulos semelhantes:

Perceba que o eixo de simetria divide a figura em outros dois triângulos simétricos.

Leia também: 3 macetes de Matemática para o Enem

Área do triângulo isósceles

Para calcular a área do triângulo isósceles, utilizamos a mesma fórmula que é utilizada para calcular a área de um triângulo qualquer. A diferença é que, em alguns casos, é possível encontrar a altura ou o tamanho da base utilizando uma das propriedades do triângulo.

Sendo assim, a área do triângulo isósceles é dada por:

Exemplo:

Calcule a área do triângulo isósceles a seguir.

A sua altura apresenta 14 cm e sua base possui 6 cm, então:

Perímetro do triângulo isósceles

Para calcular o perímetro de um triângulo isósceles, basta realizar a soma dos seus lados.

Como dois lados são congruentes, o perímetro do triângulo isósceles pode ser calculado por:

P = 2l + b

Exemplo:

Em um triângulo isósceles, o seu lado oblíquo mede 13 metros, e a sua base, 24 metros. Calcule o seu perímetro.

P = 2l + b

P = 2 · 13 + 24

P = 26 + 24

P = 50 metros

Leia também: Quais são os casos de congruência de triângulos?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sabendo que o triângulo a seguir possui os lados medidos em centímetros, a área dele é igual a:

A) 120 cm².

B) 96 cm².

C) 80 cm².

D) 48 cm².

E) 30 cm².

Resolução

Alternativa D.

Para calcular a área, precisamos encontrar o valor da altura. Sabendo que a altura do triângulo isósceles é a mediana da base, temos que:

Note que o triângulo AGB é retângulo, então aplicaremos o teorema de Pitágoras para calcular a sua altura:

10² = 6² + h²

100 = 36 + h²

100 – 36 = h²

64 = h²

h² = 64

h = √64

h = 8

Como a altura é 8 e a base é 12, temos que:

Questão 2 - (Cefet-SC 2008) Num triângulo isósceles, cada ângulo da base mede o dobro da medida do ângulo do vértice. A medida do ângulo do vértice é:

A) 36°.

B) 72°.

C) 50°.

D) 40°.

E) 80°.

Resolução

Alternativa A.

Seja x o ângulo do vértice, então os ângulos da base medem 2x cada. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então:

x + 2x + 2x = 180º

5x = 180º

x = 180º : 5

x = 36º

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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