Triângulo equilátero

O triângulo equilátero é um caso particular de triângulo estudado na geometria plana. Um triângulo é considerado equilátero quando ele possui todos os seus lados congruentes, ou seja, todos os lados têm a mesma medida. Quando um triângulo é equilátero, ele apresenta todas as propriedades de um triângulo qualquer e, além disso, apresenta algumas propriedades que são específicas do seu tipo.

O triângulo equilátero também possui todos os ângulos congruentes e, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60º. Para calcular a área e a altura de um triângulo equilátero, existem fórmulas específicas em que é necessário conhecer apenas a medida do lado desse triângulo.

Leia também: Qual é a condição de existência de um triângulo?

Propriedades do triângulo equilátero

O triângulo é equilátero quando os seus lados são congruentes.
O triângulo é equilátero quando os seus lados são congruentes.

O triângulo equilátero é um caso particular de triângulo estudado na geometria plana. O triângulo é um polígono que possui três lados e é classificado como equilátero quando ele tem todos os lados congruentes, ou seja, com a mesma medida.

Como consequência dos lados congruentes, esse polígono também apresenta os seus três ângulos congruentes e, pelo fato de em triângulo qualquer a soma dos ângulos internos ser sempre igual a 180º, cada um dos ângulos internos de um triângulo equilátero é igual a 60º.

Ao traçarmos a altura de um triângulo equilátero, esse segmento de reta também será bissetriz do ângulo, dividindo o ângulo em duas partes iguais. A altura também é mediana, dividindo a base do triângulo em duas partes congruentes.

Altura do triângulo equilátero

Para calcular o valor da altura de um triângulo equilátero, utilizamos a seguinte fórmula:

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Demonstração:

Ao traçarmos a altura, dividimos o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos. Como a altura é mediana, a base vai ser dividida ao meio. Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras nesse triângulo, isolando a altura.

Analisando o triângulo destacado:

Exemplo 1:

Qual é a altura do triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm?

Para encontrar o valor da altura desse triângulo equilátero, basta substituir na fórmula:

l = 20

Exemplo 2:

Um triângulo equilátero possui altura igual a 12 cm. Qual é a medida do seu lado?

l = 8√3 cm

Veja também: Trapézio – quadrilátero que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos

Área do triângulo equilátero

A área de um triângulo, de uma maneira geral, é calculada a partir do produto da base pela altura dividido por 2. Quando analisamos, de forma específica, é possível deduzir uma fórmula que calcule a área do triângulo equilátero, tendo apenas a informação da medida do lado desse polígono.

 A fórmula para calcular a área do triângulo equilátero é:

Demonstração:

Exemplo:

Calcule a área de um triângulo retângulo que possui o lado igual a 10 cm.

Perímetro do triângulo equilátero

O perímetro de qualquer polígono é igual à soma de todos os seus lados. Como os lados são congruentes, então o perímetro de um triângulo equilátero é dado por:

P = 3l

Exemplo:

Qual é o perímetro do triângulo equilátero que possui o lado medindo 8 cm?

P = 3l

P = 3·8

P = 24 cm

Veja também: O que são polígonos convexos?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um triângulo equilátero possui lados medindo 2x + 10, y + 3 e 5x + 1. O valor de x + y é igual a:

A) 3

B) 8

C) 13

D) 15

E) 16

Resolução

Alternativa E.

Por ser um triângulo equilátero, então os lados são congruentes.

Logo:

2x + 10 = 5x + 1

2x – 5x = 1 – 10

– 3x = – 9   ( – 1)

3x = 9

x = 9/3

x = 3

Sendo x = 3, então o lado do triângulo é:

l = 2x + 10

l = 2·3+10

l = 6 + 10

l = 16

Para encontrar o valor de y, sabemos que:

y+3 = 16

y = 16 – 3

y = 13

Agora calculando o valor de x + y :

13 + 3 = 16

Questão 2 – A área, em metros quadrados, limitada por um triângulo equilátero com lados medindo 8 metros é igual a:

(Use √3 = 1,7)

A) 27,2

B) 25,3

C) 24,8

D) 21,1

E) 16,0

Resolução

Alternativa A.

Para encontrar a área, basta substituir os valores dados na fórmula:

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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