Relações fundamentais da trigonometria

As duas relações fundamentais da trigonometria são usadas para relacionar as razões trigonométricas básicas. Sua demonstração é feita pelo ciclo trigonométrico.

As relações fundamentais da trigonometria são igualdades que relacionam as razões trigonométricas básicas
As relações fundamentais da trigonometria são igualdades que relacionam as razões trigonométricas básicas

As relações fundamentais da trigonometria são igualdades por meio das quais é possível relacionar as razões trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente. São duas as relações fundamentais que recebem esse nome graças a seu envolvimento em grande parte das fórmulas e cálculos da trigonometria intermediária.

As duas relações fundamentais da trigonometria são:

tgα = senα
         cosα

e:

sen2α + cos2α = 1

Cada uma dessas relações será demonstrada a seguir, mas, antes, é preciso conhecer algumas informações sobre o ciclo trigonométrico.

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 e centro (0, 0) construída no plano cartesiano. Sobre essa circunferência é possível construir arcos, que, por sua vez, relacionam-se a ângulos. Arcos e ângulos relacionam-se a uma medida de comprimento obtida no eixo x, no eixo y ou no eixo das tangentes.

O eixo x é conhecido como eixo dos cossenos, o eixo y é conhecido como eixo dos senos e a terceira reta, presente na figura a seguir, é conhecida como eixo das tangentes.

Para obter mair informações a respeito do ciclo e do modo como ângulos devem ser relacionados a números reais e a medidas de razões trigonométricas, leia o artigo Ciclo trigonométrico.

Demonstração da primeira relação

No ciclo trigonométrico, marque o ponto P, trace o segmento de reta que liga o eixo das tangentes ao centro do ciclo, que deve ser o vértice de qualquer ângulo construído, formando assim o ângulo α.

Ainda nessa construção, assinale os prolongamentos do ponto P sobre o eixo dos senos e dos cossenos, respectivamente os pontos E e D. A imagem a seguir mostra a construção final usada para determinar uma das relações trigonométricas:

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Observe que os triângulos OAB e OPD são semelhantes. Isso significa que as medidas de seus lados são proporcionais. Isso acontece porque ambos são triângulos retângulos, e, além do ângulo reto, compartilham o ângulo α. Portanto, pelo caso ângulo-ângulo, eles são considerados semelhantes.

Sendo assim, é possível escrever a seguinte proporção:

AB = OB
PD    OD

Perceba que o segmento OD é igual a cosα; que o segmento PD é igual a senα; que o segmento OB = 1, pois é raio da circunferência; e que o segmento AB = tgα. Substituindo esses valores na proporção acima, e simplificando o resultado, teremos:

tgα = senα
1       cosα

 

tgα = senα
         cosα

Essa é, portanto, a demonstração da primeira relação fundamental.

Segunda relação fundamental

Para demonstrar a segunda relação fundamental, construa um ponto P sobre o ciclo, de modo que o segmento OP seja um de seus raios. Observe o ângulo α resultante na imagem a seguir:

O triângulo retângulo OPD é formado nessa construção. Sabendo que a medida OP = 1, porque esse segmento é um raio do círculo, que OD = cosα e que PD = senα, podemos usar o teorema de Pitágoras para:

OP2 = OD2 + PD2

12 = cosα2 + senα2

Ou seja:

cosα2 + senα2 = 12

Ambas as demonstrações dependem de conhecer previamente o ciclo trigonométrico. Conhecendo-o, é possível perceber que elas são fáceis e que não dependem de cálculos avançados.



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Por: Luiz Paulo Moreira Silva

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