Lei dos cossenos

A lei dos cossenos, conhecida também como teorema dos cossenos, é aplicada em triângulos não retângulos para encontrar a medida de lados desconhecidos utilizando o cosseno.

A lei dos cossenos demonstra uma relação entre a medidas dos lados de um triângulo e um ângulo.
A lei dos cossenos demonstra uma relação entre a medidas dos lados de um triângulo e um ângulo.

Também conhecida como teorema dos cossenos, a lei dos cossenos demonstra uma relação entre a medidas dos lados de um triângulo e um ângulo. Para encontrar a medida de um dos lados de um triângulo, conhecendo a medida do ângulo oposto a esse e dos outros dois lados, recorremos à lei dos cossenos.

A fórmula da lei dos cossenos para encontrar a medida do lado a é a² = b² + c² – 2 · b · c · cosA. Logo, a lei dos cossenos determina que o quadrado de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto de ambos pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A principal aplicação da lei dos cossenos é encontrar medidas desconhecidas em um triângulo. Note que, nesse caso, o triângulo não precisa ser retângulo, como nas razões trigonométricas e no teorema de Pitágoras.

Leia também: Seno, cosseno e tangente — razões trigonométricas usadas para relacionar as medidas de lados e ângulos de um triângulo

Resumo sobre a lei dos cossenos

  • A lei dos cossenos é conhecida também como teorema dos cossenos.

  • Utilizamos a lei dos cossenos para encontrar lados desconhecidos de um triângulo.

  • Dado um triângulo ABC, a lei dos cossenos determina que:

a² = b² + c² – 2b · c · cosA

b² = a² + c² – 2a · c · cosB

c² = a² + b² – 2a · b · cosC

Videoaula sobre a lei dos cossenos

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Fórmula da lei dos cossenos

Conhecemos como lei dos cossenos, ou teorema dos cossenos, uma relação entre os lados e ângulos de um triângulo. A lei dos cossenos mostra que o quadrado de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto de ambos pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

Triângulo branco de bordas roxas e marcações de ângulo em laranja com lados a, b e c.

As fórmulas da lei dos cossenos são:

a² = b² + c² – 2b · c · cosA

b² = a² + c² – 2a · c · cosB

c² = a² + b² – 2a · b · cosC

Demonstração da lei dos cossenos

Para demonstrar a lei dos cossenos, primeiramente construiremos um triângulo de lados ABC. Opostos aos ângulos A, B e C, os lados terão medidas a, b e c, respectivamente. O segmento DC mede a – m, como na imagem a seguir.

Triângulo branco com altura h e lados a (m + a – m), b e c.

De início, analisando o triângulo ABD, constatamos que:

cosB = m/c

c · cosB = m

Agora, aplicamos o teorema de Pitágoras, obtendo:

c² = m² + h²

Podemos reescrever isso como:

h² = c² – m²

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACD:

b² = h² + (a – m)²

b² = h² + a² – 2am + m²

Sabemos que h² = c² – m², então substituindo h² por c² – m², obtemos:

b² = c² – m² + a² – 2am + m²

b² = c² + a² – 2am

Sabemos também que m = c · cosB, então:

b² = c² + a² – 2a · c · cosB

Fica demonstrada, assim, a lei dos cossenos. Para as demais relações, a forma de demonstração é a mesma.

Veja também: Lei dos senos — estabelece identidades trigonométricas para um triângulo qualquer

Aplicação da lei dos cossenos

Vejamos a seguir uma aplicação da lei dos cossenos para encontrar a medida do lado x no triângulo a seguir.

Triângulo branco de ângulos A, B (60°) e C e lados x, 5 cm e 8 cm.

Aplicando a lei dos cossenos, temos:

x² = 5² + 8² – 2 · 5 · 8 · cos60°

x² = 25 + 64 – 80 · cos60°

Consultando o valor do cos60°, descobrimos ele equivale a 1/2. Dessa forma, calculamos o seguinte:

Aplicação da lei dos cossenos com substituição de cos60° no cálculo por seu valor.

Portanto, a medida de x é 7 cm.

Saiba mais: Cosseno da soma e diferença de dois arcos — auxilia o cálculo de funções circulares

Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos

Questão 1

(Funiversa) Investigações de um crime com arma de fogo indicam que um atirador atingiu diretamente dois pontos, B e C, a partir de um único ponto A. São conhecidas as distâncias: AC = 3 m, AB = 2 m e BC = 2,65 m. A medida do ângulo formado pelas duas direções nas quais o atirador disparou os tiros é mais próxima de:

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 90°

Resolução:

Alternativa C

Sendo A o ângulo que queremos descobrir, temos:

a² = b² + c² – 2 · b · c · cosA

2,65² = 3² + 2² – 2 · 3 · 2 · cosA

7,0225 = 9 + 4 – 12 · cosA

Como queremos o valor aproximado, arredondamos 7,0225 para 7:

7 = 9 + 4 – 12 · cosA

7 = 13 – 12 · cosA

7 – 13 = – 12 · cosA

– 6 = – 12 · cosA

– 6 : ( – 12) = cosA

0,5 = cosA

O ângulo que possui cosseno igual a 0,5 é o ângulo de 60°.

Questão 2

(Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.

Um compasso com abertura formando um ângulo de 60° fazendo uma circunferência cujo centro é B = (3, 1) no plano cartesiano.

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

Tabela com relação entre cinco tipo de materiais e o intervalo de valores de raio de cada um em cm.

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

E) V.

Resolução:

Alternativa D

O compasso forma com o raio da circunferência um triângulo com um ângulo de 120°, um lado oposto a esse ângulo igual ao raio R da circunferência e os outros dois lados com 10 cm cada. Então, aplicando a lei dos cossenos:

Aplicação da lei dos cossenos com substituição de cos120° no cálculo por seu valor.

Como 17 está entre 15 e 21, será escolhido o material IV.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos relacionados

Cosseno da soma e diferença de dois arcos

Expressão para calcularmos o cosseno da soma de dois arcos ou da diferença de dois arcos. Encontrando o cosseno de arcos desconhecidos por meio de dois arcos.

Equações trigonométricas

Clique e aprenda o que são equações trigonométricas e saiba como resolvê-las por meio das relações trigonométricas seno, cosseno e tangente.

Lei dos senos

Clique aqui e confira a demonstração e aplicação da lei dos senos!

Relações fundamentais da trigonometria

Clique e descubra o que são as relações fundamentais da trigonometria e aprenda como demonstrá-las.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo

Seno da soma e seno da diferença de dois arcos

Exemplos de aplicação do seno da soma e do seno da diferença de dois arcos

Seno e Cosseno de dois ângulos suplementares

Aprenda a determinar medidas de seno e cosseno de ângulos obtusos através do conceito de ângulos suplementares.

Seno, cosseno e tangente

Aprenda as noções de seno, cosseno e tangente e entenda como essas razões trigonométricas relacionam as medidas de lados e ângulos de um triângulo.

Seno, cosseno e tangente do arco duplo

Fórmulas de multiplicação de arcos

Trigonometria

Confira aqui um pouco da história do surgimento da trigonometria!

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Definição, relações e razões trigonométricas.