O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Portanto, são exemplos de números reais:
a) Todos os números naturais
O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros não negativos. Todos eles são exemplos de números reais. Dessa maneira, pode-se dizer que o conjunto dos números reais contém o conjunto dos números naturais.
b) Todos os números inteiros
Esse conjunto é formado pelo conjunto dos números naturais e por seus inversos aditivos, ou seja, pelos números negativos. Assim, o conjunto dos números reais contém os números inteiros, que, por sua vez, contêm os números naturais.
c) Todos os números racionais
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração. São eles os decimais finitos, dízimas periódicas e os próprios números inteiros. Não há que se discutir se os números racionais são ou não reais, uma vez que isso faz parte da definição de números reais. Dessa maneira, toda fração é um número real.
d) Todos os números irracionais
Formados por todos os números decimais que não são racionais. Essa informação também faz parte da definição de números reais, mas é bom listar os seguintes exemplos: raízes não exatas e algumas operações básicas matemáticas envolvendo-as resultam em números irracionais; alguns números muito conhecidos, como o π, também são números irracionais. Dessa maneira, todo número decimal é um número real.
Operações com números reais
As operações envolvendo números reais são as mesmas que envolvem os outros conjuntos numéricos, com as mesmas características, definições e algoritmos. Essas operações são:
1 – Adição
2 – Subtração
3 – Multiplicação
4 – Divisão
5 – Potenciação
6 – Radiciação
Propriedades dos números reais
As propriedades dos números reais decorrem da construção dos conjuntos numéricos e das definições de cada operação matemática. São elas:
→ Comutatividade
A ordem em que dois números são somados ou multiplicados não altera o resultado. Em outras palavras, dados os números reais a e b:
a + b = b + a
a·b = b·a
→ Associatividade
Os números devem ser operados dois a dois. Se ocorrerem adições ou multiplicações de três ou mais números, a ordem em que eles são escolhidos não altera o resultado. Em outras palavras, dados os números reais a, b e c:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a·b)·c = a·(b·c)
→ Elemento neutro
Existe um número que não influencia o resultado quando é multiplicado. Existe outro número que não influencia o resultado quando é somado. Em outras palavras, dados os números reais a, 0 e 1:
a + 0 = a
a·1 = a
→ Elemento inverso
Todo número real possui um elemento inverso com a propriedade seguinte: ao somar o real e seu inverso aditivo, o resultado será o elemento neutro da adição. Ao multiplicarmos o real e seu inverso multiplicativo, o resultado será o elemento neutro da multiplicação. Por exemplo, dado o número real a, seu inverso aditivo será – a e seu inverso multiplicativo será 1/a. Dessa maneira, teremos:
a + (– a) = 0
a·1 = 1
a
→ Distributividade
Única propriedade que envolve multiplicação e adição ao mesmo tempo. “O produto da soma é igual à soma dos produtos” é o modo como essa propriedade é proposta no geral. Matematicamente, dados os reais a, b e c:
a·(b + c) = a·b + a·c
