Operações com conjuntos

As operações com conjuntos são essenciais para compreender a relação entre um ou mais conjuntos numéricos. Recorrentes no estudo da álgebra, são elas:

  • união, que é a junção de todos os elementos dos conjuntos;

  • intersecção, que são os elementos que pertencem simultaneamente a dois conjuntos;

  • diferença, que são os elementos que pertencem ao primeiro e não pertencem ao segundo conjunto;

  • conjunto complementar, que é um caso particular de diferença entre dois conjuntos.

Leia também: Operações matemáticas básicas

As operações entre conjuntos são recorrentes no estudo da álgebra.
As operações entre conjuntos são recorrentes no estudo da álgebra.

União de conjuntos

Na teoria de conjuntos, chamamos de união entre dois ou mais conjuntos o conjunto formado pela junção de todos os termos. Utilizamos para representar a união o símbolo A U B (A união com B).

No nosso dia a dia, é bastante comum a divisão de elementos em conjuntos. Por exemplo, na biologia, temos a união de vários seres vivos, que são divididos em grupos menores de acordo com as suas características. Podemos dizer também, por exemplo, que o território brasileiro é formado pela união de seus estados.

Exemplo

Dados os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a união de A com B é representada por:

A U B = {1,2,3,5,6,7,8}

É possível também realizar a representação desses conjuntos por meio do diagrama a seguir:

A união com B
A união com B

Intersecção de conjuntos

A intersecção de dois ou mais conjuntos é composta pelos elementos que pertencem simultaneamente a todos esses conjuntos. Essa operação também é bastante comum no nosso dia a dia.

Exemplo 1

Seja A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a intersecção de A com B (A∩B) é representada por:

A ∩ B= {4,5}

É possível também realizar a representação da intersecção por meio de diagrama. A intersecção é a região em destaque que fica entre os dois conjuntos.

Intersecção de A com B
Intersecção de A com B

Exemplo 2

Podemos escrever os conjuntos dos rios que banham o estado de Goiás: G: {Aporé, Araguaia, Claro, Corumbá, dos Bois, Paranã, Paranaíba, Maranhão, São Marcos}. Também podemos escrever o conjunto dos rios que banham o estado de Tocantins: T: {Tocantins, Araguaia, do Sono, das Balsas, Paranã, Manuel Alves}.

A intersecção entre esses conjuntos pode ser representada por:

G∩T {Araguaia}

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Diferença

Definimos como diferença entre dois conjuntos a operação A – B, que tem como resultado os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Exemplo

Seja A: {1,2,3,4,5} e B {4,5,6,7,8}, a diferença entro o conjunto A e o conjunto B é igual a:

A – B = {1,2,3}

Note que a ordem é importante, pois a diferença entre o conjunto B e o conjunto A é igual a:

B – A = {6,7,8}

Essa diferença pode também ser representada por meio do diagrama a seguir:

A – B
A – B

Conjunto complementar

Tratado como um caso especial de diferença entre dois conjuntos, precisamos definir antes o que é o conjunto universo. Conhecemos como conjunto universo o conjunto formado por todos os elementos de um espaço amostral a ser definido, como os números de 1 até 20 ou todos os números reais, enfim, cada situação possui um conjunto universo determinado.

O conjunto complementar de A, denotado por Ac, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao universo U e não pertencem ao conjunto A, ou seja, o complementar de um conjunto quando se conhece o conjunto universo U é igual a U – A .

Exemplo

Dado o universo U de todos os números de 1 até 16, ou seja:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}

E seja A = {2,4,6,8,10,12,14,16} o conjunto complementar de A, ou seja:

Ac = {1,5,7,8,10,11,12,13,15}

Complementar do conjunto A
Complementar do conjunto A

Leia também: Quatro conteúdos básicos de Matemática para o Enem

Exercícios resolvidos

1) Sabendo que A = { 1,3,5,9,11,12}, B = {0,2,5, 10, 12, 20} e C = {3,4,8,9,12,15,20}, o conjunto formado por A ∩C U B é:

a) {0,2,3,5,9,10,12,20}.

b) {3,9,12}.

c) {3,4,8,9,15,20}.

d) {0,2,3,5,9,10,20}.

Resolução:

Vamos calcular as operações separadamente.

A ∩C = { 3,12}

Então a união de A ∩C com B formará o conjunto:

A ∩CUB = {0,2,3,5,9,10,12,20}

Resposta: alternativa A.

2) Dado o conjunto dos números naturais como universo e seja P o conjunto dos números pares e A o conjunto dos números múltiplos de 3, podemos afirmar que:

I – o conjunto Pc é o conjunto dos números ímpares;

II – a intersecção de P com A é o conjunto dos números múltiplos de 6;

III – o conjunto A é formado somente por números ímpares.

Analisando as afirmativas, marque a alternativa correta.

a) Somente I é verdadeira.

b) Somente II é verdadeira.

c) Somente III é verdadeira.

d) Somente I e II são verdadeiras.

e) Somente II e III são verdadeiras.

Resolução:

I – Verdadeira.

Note que, no conjunto dos números naturais, um número pode ser par ou ímpar se queremos Pc.

Pc= N* - P, ou seja, os naturais sem os pares, logo o complementar dos números pares será os números ímpares.

II – Verdadeira.

A intersecção entre os números pares e os números múltiplos de 3 são os múltiplos de 6. Lembre-se do critério de divisibilidade por 6, que são os números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

III – Falsa.

Existem múltiplos de 3 que são ímpares, como o 6, 12,18, entre outros.

Resposta: alternativa D.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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