Operações básicas envolvendo vetores

As operações básicas envolvendo vetores são equivalentes às operações básicas matemáticas, uma vez que as componentes de um vetor são números reais.

Representação geométrica da adição de vetores
Representação geométrica da adição de vetores

Vetores são objetos matemáticos amplamente utilizados nos estudos de Mecânica, na disciplina de Física, pois eles descrevem a trajetória em linha reta de um ponto, indicando sua direção, sentido e intensidade de movimento. Esses objetos são representados geometricamente por flechas, e sua localização no espaço é dada por meio de pontos com coordenadas reais. Desse modo, é possível definir algumas das operações básicas matemáticas para os vetores.

Representação geométrica do vetor v = (x,y), que possui início na origem e fim no ponto A = (x,y)
Representação geométrica do vetor v = (x,y), que possui início na origem e fim no ponto A = (x,y)

O ponto A = (x,y) pertencente ao plano pode ser usado para definir um vetor v = (x,y). Para isso, esse vetor deve ter seu início na origem O = (0,0) e seu fim no ponto (x,y), com as componentes x e y pertencentes ao conjunto dos números reais.

Adição de vetores

Dados os vetores u = (a,b) e v = (c,d), a operação adição deve ser definida da seguinte maneira: As coordenadas do vetor resultante, u + v, serão a soma das respectivas coordenadas dos vetores u e v:

u + v = (a + c, b + d)

Como as coordenadas resultantes são obtidas por meio de somas de números reais, é possível mostrar que a soma de vetores é comutativa e associativa, além da existência de elemento neutro e elemento inverso aditivo. Essas propriedades são, respectivamente:

i) u + v = v + u

ii) (u + v) + w = u + (v + w), sendo w um vetor pertencente ao mesmo plano que u e v.

iii) v + 0 = 0 + v = v

iv) v – v = – v + v = 0

Subtração de vetores

A subtração do vetor u = (a,b) pelo vetor v = (c,d) é definida como a soma entre o vetor u e o vetor – v = (– c, – d). Desse modo, teremos:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

u – v = u + (– v) = (a – c, b – d)

Multiplicação de vetor por um número real

Seja u = (a,b) um vetor e k um número real, a multiplicação do vetor u pelo número real k é dada por:

k·u = k·(a,b) = (k·a,k·b)

Considerando que k, i, a e b são números reais, para vetores multiplicados por um número real, valem as seguintes propriedades: comutatividade, associatividade, distributividade e existência de elemento neutro. Respectivamente, essas propriedades são traduzidas como:

i) k·u = u·k

ii) k·(i·v) = k·i·(v)

iii) k·(u + v) = k·u + k·v

iv) 1·v = v·1 = v

Módulo de um vetor

Vetores são representados geometricamente como segmentos de reta orientados para que sejam capazes de indicar sentido e direção. Dessa forma, como segmento de reta, qualquer vetor pode ter seu comprimento medido. Essa medida de comprimento também recebe o nome de módulo de um vetor por indicar a distância entre o ponto final desse vetor e a origem (assim como módulo de um número real). Outra denominação frequente dessa medida é norma de um vetor.

A norma ou módulo do vetor v = (a,b) é denotada por |v| e pode ser calculada por meio da distância entre o ponto (a,b) e o ponto (0,0), já que esses são o ponto final e o inicial do vetor v, respectivamente. Dessa forma, escrevemos:

Cálculos feitos para encontrar a norma de v
Cálculos feitos para encontrar a norma de v

Produto interno

Sejam os vetores u = (a,b) e v = (c,d), o produto interno entre eles, denotado por , é definido pela seguinte expressão:

δ é o ângulo entre os vetores u e v. Outra maneira de calcular o produto interno entre dois vetores é a seguinte:

Aproveite para conferir nossa videoaula relacionada ao assunto:

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Decomposição de vetores

Veja aqui como deve ser feita a decomposição de vetores quando aplicados obliquamente em relação à horizontal.

Grandezas escalares

Você sabe o que são grandezas escalares? Clique aqui e veja a definição e suas características!

Norma de um vetor

Clique para aprender o que é norma de um vetor e as relações que essa norma tem com o módulo de um número real.

Operações com conjuntos

Aprenda a calcular a união, a intersecção, a diferença e o conjunto complementar, as famosas operações entre conjuntos numéricos.

Operações com números complexos na forma trigonométrica

Multiplicação e divisão na forma polar

Operações com vetores

Aprenda a realizar os vários tipos de operações com vetores.

Potenciação e radiciação de frações

Saiba como calcular potências e raízes de números fracionários.

Ângulo entre dois vetores

Confira o modo como o ângulo entre dois vetores é calculado e a relação que isso possui com produto interno e comprimento!