Geometria analítica

A geometria analítica é a área da matemática que analisa elementos da geometria em um plano cartesiano. O plano cartesiano é um plano de coordenadas contendo duas retas perpendiculares, nele conseguimos representar elementos da geometria analítica, como pontos, retas, circunferências, entre outros.

Na geometria analítica, há o desenvolvimento de conceitos importantes, tornando possível algebrizar os objetos geométricos e descrevê-los por meio de equações, como a equação da reta e a equação da circunferência, além da existência de algumas fórmulas para encontrar a distância entre dois pontos, o ponto médio de um segmento, entre outros.

Leia também: Como determinar a distância entre um ponto e uma reta?

O que a geometria analítica estuda?

A geometria analítica é o estudo de objetos geométricos no plano cartesiano.
A geometria analítica é o estudo de objetos geométricos no plano cartesiano.

A geometria analítica permitiu a junção da geometria com a álgebra, tornando possível o desenvolvimento de muitos conceitos importantes na matemática, como a criação de uma área muito importante da matemática avançada, conhecida como análise.

A geometria analítica desenvolve-se em um sistema de coordenadas conhecido como plano cartesiano. Com base no plano cartesiano, é possível representar pontos de forma geométrica e anexá-los a uma coordenada algébrica. Com o avanço dos conceitos, tornou-se possível calcular a distância entre dois pontos localizados no plano cartesiano ou até mesmo desenvolver equações que descrevam o comportamento de retas, circunferências, entre outras figuras da geometria plana.

Vale ressaltar que a geometria analítica que conhecemos é estruturada com base em conceitos da geometria euclidiana, respeitando todas as noções de geometria desenvolvidas no que conhecemos também como geometria plana.

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Conceitos da geometria analítica

Para compreender a geometria analítica como um todo, é necessário aprender o que é um plano cartesiano. O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si, ou seja, que formam um ângulo de 90º. Em cada um desses eixos, representamos uma reta numérica com todos os números reais. O eixo vertical é conhecido como eixo das ordenadas ou também como eixo y. O eixo horizontal é conhecido como eixo das abcissas ou eixo x.

Ao representar qualquer objeto no plano cartesiano, é possível extrair informações algébricas desse objeto, a primeira delas e a mais simples é o ponto. Todo ponto no plano cartesiano pode ser representado por um par ordenado de acordo com a sua localização em relação a cada um dos eixos. Esse par ordenado é representado sempre da seguinte maneira:

Representação de pontos no plano cartesiano
Representação de pontos no plano cartesiano

De acordo com a posição do elemento geométrico ou de seu comportamento, a geometria analítica foi desenvolvendo meios algébricos de estudar elementos que antes eram somente geométricos. Essas representações algébricas geraram fórmulas importantes para a geometria analítica.

Veja também: Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Fórmulas da geometria analítica

  • Distância entre dois pontos

Tendo bem definidos os conceitos básicos (o que é um plano cartesiano e como pontos são representados), passa-se ao entendimento de que a geometria analítica é uma construção de conceitos desenvolvidos ao longo do tempo. O primeiro deles é a distância entre dois pontos, sendo possível calculá-la por meio de uma fórmula.

Distância entre dois pontos
Distância entre dois pontos

Dados os pontos A1 e A2 do plano cartesiano, para calcular da distância entre eles (dA1A2), utilizamos a fórmula:

Essa distância nada mais é que o comprimento do segmento que liga os dois pontos.

Exemplo:

Dado A(2,3) e B(5,1), qual é a distância entre esses dois pontos?

  • Ponto médio

Com base na ideia de distância, e do seguimento que une dois pontos, outra fórmula importante é a de ponto médio de um seguimento. Para calcular o ponto M(xm,ym), que é ponto médio do seguimento A1(x1,y1) e A2(x2,y2), utilizamos a fórmula:

Essa fórmula nada mais é que a média aritmética entre as abcissas dos dois pontos e as ordenadas também dos dois pontos.

Exemplo:

Encontre o ponto médio entre os pontos A(-2,5) e B(6,3).

O ponto médio é o ponto M(2,4).

  • Condição de alinhamento

A condição de alinhamento de três pontos serve para realizar a verificação de que três pontos — A1 (x1,y1), A2(x2,y2) e A3(x3,y3) — estão alinhados ou não. Calculamos o determinante da seguinte matriz:

Existem dois casos possíveis, se o determinante for igual a 0, significa que os três pontos estão alinhados, caso contrário, dizemos que os pontos não estão alinhados ou então que são vértices de um triângulo.

Acesse também: Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

  • Equação da reta

Uma figura geométrica muito estudada na geometria analítica é a reta. Existem duas possibilidades para a sua equação, são elas:

Representação da reta no plano cartesiano
Representação da reta no plano cartesiano

Outras equações estudadas na geometria analática são as equações geral e reduzida da circunferência, tendo o centro definido pelo ponto O(xc,yc):

Exemplo de representação de circunferência no plano cartesiano
Exemplo de representação de circunferência no plano cartesiano

Existem outras equações menos estudadas, mas, ainda assim, importantes na geometria analítica, são as equações das cônicas.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - A economia no consumo de combustível é um fator importante para a escolha de um carro. É considerado mais econômico o carro que percorre a maior distância por litro de combustível.

O gráfico apresenta a distância (km) e o respectivo consumo de gasolina (L) de cinco modelos de carros.

O carro mais econômico em relação ao consumo de combustível é o modelo:

A) A

B) B

C) C

D) D

E) E

Resolução

Alternativa C

Analisando o plano cartesiano, basta realizar as coordenadas de cada um dos pontos, ou seja, cada um dos modelos de carro.

O ponto A tem as coordenadas aproximadamente iguais a A(125,10).

O modelo A percorreu cerca de 125 km com 10 litros. Dividindo 125 : 10 = 12,5 km/L.

O modelo B percorreu 200 km com 40 litros. Dividindo 200 : 40 = 5 km/L.

O modelo C percorreu 400 km com 20 litros. Dividindo 400 : 20 = 20 km/L.

O modelo D percorreu aproximadamente 550 km com 50 litros. Dividindo 550 : 50 = 11 km/L.

O modelo E percorreu 600 km com 40 litros. Dividindo 600 : 40 = 15 km/L.

O modelo C é o mais econômico.

Questão 2 - Se um ponto C com coordenadas (x,0) está a mesma distância dos pontos A(1,4) e B(-6,3), a abscissa de C é igual a:

A) 3

B) 2

C) 1

D) -1

E) -2

Resolução

Alternativa E

Sabendo que as distâncias são iguais, então temos que dAC = dBC.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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Paralelismo

Trabalhando com retas paralelas

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Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Posições relativas entre ponto e circunferência

Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

Reta tangente, reta secante e reta externa

Posições Relativas de Retas no Plano Cartesiano

Retas paralelas ou concorrentes.