Hipérbole

A hipérbole pode ser obtida a partir de um corte efetuado em um cone, assim como ocorre com a elipse e a parábola, todas denominadas cônicas.

Veja a definição de hipérbole e confira suas equações reduzidas
Veja a definição de hipérbole e confira suas equações reduzidas

O estudo da hipérbole foi iniciado pelo matemático Apolônio, que desenvolveu um trabalho muito respeitado sobre as seções cônicas. Ele analisou, além da hipérbole, a parábola e a elipse, que podem ser obtidas a partir de cortes efetuados em um cone. Na figura a seguir temos a representação analítica da hipérbole:

Confira a representação analítica da hipérbole
Confira a representação analítica da hipérbole

Na figura anterior, a hipérbole está representada pelo conjunto de pontos presentes nas curvas em vermelho. Os pontos que compõem a hipérbole apresentam uma característica em comum. Dados quaisquer dois pontos, o módulo da diferença das distâncias entre eles e os pontos F1 e F2 é sempre igual à distância de 2a entre A1 e A2. Considere P e Q como pontos pertencentes à hipérbole. De forma simplificada, temos:

Vejamos agora os elementos principais da hipérbole:

  • Centro: O;

  • Focos: F1 e F2;

  • Distância focal: segmento entre F1 e F2. A distância focal vale 2c;

  • Vértices da hipérbole: A1 e A2;

  • Eixo real ou transverso: segmento entre A1 e A2. O eixo real mede 2a;

  • Eixo Imaginário: segmento entre B1 e B2. Sua medida é de 2b;

  • Excentricidade da hipérbole: quociente entre c e a (c/a).

Na imagem estão destacados todos os principais pontos da hipérbole
Na imagem estão destacados todos os principais pontos da hipérbole

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Observe na figura acima que se formou um triângulo retângulo com lados a, b e c. Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação notável, válida para qualquer hipérbole:

c² = a² + b²

Há situações em que teremos a = b na hipérbole. Nesse caso, ela será classificada como equilátera.

1ª Equação reduzida da hipérbole:

Há situações em que o eixo real e os focos da hipérbole estarão sobre o eixo x, em um sistema cartesiano ortogonal, como podemos ver na figura a seguir:

Para hipérboles semelhantes a essa, utilizamos a 1ª equação reduzida
Para hipérboles semelhantes a essa, utilizamos a 1ª equação reduzida

Nesse caso, teremos uma equação reduzida da hipérbole. Considere P (x, y) como um ponto qualquer contido na hipérbole, logo:

= 1
a²    b²      

2ª Equação Reduzida da Hipérbole:

Há situações em que lidamos com uma hipérbole que possui o eixo real e os focos sobre o eixo y. Veja a figura a seguir:

Para hipérboles semelhantes a essa, utilizamos a 2ª equação reduzida
Para hipérboles semelhantes a essa, utilizamos a 2ª equação reduzida

Nesse caso, utilizamos outra equação reduzida da hipérbole. Novamente considere P(x, y) como um ponto qualquer contido na hipérbole, logo:

= 1
a²    b²      

Por: Amanda Gonçalves Ribeiro

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