Equação geral da circunferência

Compasso, objeto usado para construção de circunferências
Compasso, objeto usado para construção de circunferências

No estudo da equação reduzida da circunferência, vimos uma expressão em que os pontos do centro da circunferência estão explicitados. Caso você não se lembre da equação reduzida da circunferência, leia o artigo Equação Reduzida da Circunferência .

Entretanto, poderemos ter equações do segundo grau com duas incógnitas que podem representar a equação de uma circunferência. Para isso, desenvolveremos os quadrados da equação reduzida.


Equação reduzida da circunferência

Como dito anteriormente, podemos retirar as informações necessárias (coordenadas do centro da circunferência e o raio) para a construção da circunferência de forma direta. Desse modo, (xc,yc) é o centro da circunferência e r é o raio. 

Circunferência

Desenvolvendo os quadrados.

Equação geral da circunferência

Essa expressão é denominada equação geral da circunferência.

 

Exemplo:

Encontre a equação geral da circunferência centrada em (1,1) e raio 4.

De fato, a expressão geral da circunferência não deve ser decorada, afinal é possível obter essa expressão partindo da equação reduzida, sendo que esta é mais fácil de ser expressa.

 

É possível pensar de uma forma inversa, quando se conhece uma equação geral da circunferência e procura-se obter a equação reduzida, partindo desta equação geral.

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Para que se possa reduzir a equação geral da reta, os quadrados devem ser completados, obtendo trinômio quadrado perfeito que fatorados resultam em quadrados da soma ou da diferença de dois termos.

Um destes termos corresponde ao valor x ou y, e o outro à coordenada do centro da circunferência.

Exemplo:

Encontre a forma reduzida da seguinte equação.

Equação geral de uma circunferência

Primeiramente devemos agrupar os termos de mesma incógnita.

Agora, para cada termo x e y, completaremos quadrados para obtermos os trinômios.

Os trinômios destacados são trinômios quadrados perfeitos. Bem sabemos que existe uma forma fatorada para estes trinômios.

Para obtermos a forma reduzida por completo, basta isolarmos o termo independente e obtermos o quadrado que resulta neste termo.

Equação reduzida

Com isso, temos que a equação dada representa uma circunferência de raio r=4 e centro C(2,1).

Por: Gabriel Alessandro de Oliveira

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