Potências de i

As potências de i variam (entre 1, i, - 1 e - i), de modo que o resultado se repete a cada quatro potências. Por isso, qualquer potência de i pode ser simplificada para i0, i1, i2 ou i3.

Potências do número complexo i, definido como raiz de um número negativo
Potências do número complexo i, definido como raiz de um número negativo

O conjunto dos números complexos é formado por todos os números z tais que z = a + bi, sendo a e b números reais e i = √(– 1). Nessa definição, o termo “a” é chamado de parte real do número complexo z, e o termo “bi” é parte imaginária. É também por conta dessa definição que existe um padrão nos resultados das potências que envolvem apenas “i”, as quais serão discutidas neste artigo. Conhecer os resultados dessas potências é indispensável para conseguir lidar bem com todas as operações matemáticas que também são definidas para esse conjunto.

Potências de i

Para calcular as potências de i, é importante saber que o quadrado da raiz quadrada de n é o próprio n. Como i é uma raiz quadrada, às vezes será possível simplificar o resultado fazendo:

ii = √(– 1)√(– 1) = √(– 1)2 = – 1

Além disso, também é necessário conhecer algumas propriedades de potência para encontrar as potências de i. Essas potências são:

i0 = 1

i1 = i

12 = – 1

i3 = i2·i = – 1·i = – i

i4 = i2· i2 = (– 1)·(– 1) = 1

i5 = i4·i = 1·i = i

i6 = i4·i2 = 1·(– 1) = – 1

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

i7 = i6·i = (– 1)·i = – i

i8 = i6·i2 = (– 1)·(– 1) = 1

i9 = i8·i = 1·i = i

i10 = i8·i2 = 1·(– 1) = – 1

i11 = i10·i = (– 1)i = – i

i12 = i10·i2 = (– 1)·(– 1) = 1

Os motivos dos dois primeiros resultados evidenciados acima são as propriedades de potência. Lembre-se de que todo número elevado a zero tem 1 como resultado, e todo número elevado a 1 tem ele mesmo como resultado.

Além disso, perceba que os resultados possíveis para as potências de i são:

1, i, - 1 e - i

Calculando potências de i

A cada quatro potências, os valores de in variam entre 1, i, - 1 e - i, nessa ordem. Observe que i0 = i4 = i8 … O mesmo vale para as outras potências, que sempre serão iguais a alguma das potências de i a seguir:

i0, i1, i2 ou i3

Assim, para encontrar o valor de alguma potência de i, basta dividir seu expoente por 4. Ela terá o mesmo resultado que i elevado ao resto da divisão. Por exemplo: i130.

  130 |
 – 12
  32
     10   
 – 8
     2    

Logo, i130 = i2 = - 1

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Forma trigonométrica de um número complexo

Como escrever um número complexo na forma polar ou trigonométrica

Número Imaginário

Obtendo a raiz quadrada de um número negativo.

Números reais

Clique para conhecer o conjunto dos números reais, bem como alguns exemplos de seus elementos e as propriedades e operações básicas desse conjunto.

Operações com números complexos na forma algébrica

Adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos

Operações com números complexos na forma trigonométrica

Multiplicação e divisão na forma polar

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

Fórmula de Moivre para potenciação na forma trigonométrica.

Propriedades da Potenciação

Operação entre Potências.

Raiz quadrada aproximada

Sabe aquela aflição que surge quando a raiz de um número não é exata? Tranquilize-se, acesse aqui e descubra como calcular a raiz quadrada aproximada.