Números Complexos

Conhecemos como números complexos os números z, que podem ser representados da forma z = a + bi. O conjunto dos números complexos surgiu para ampliar o conjunto dos números reais, já que neste as raízes de números negativos não estavam contidas. Com isso, utilizamos i para representar a unidade imaginária, i = -1, e, assim, tornou-se mais fácil o desenvolvimento de conceitos e das operações com os números complexos.

Na representação algébrica a + bi, a é conhecido como parte real e b é conhecido como parte imaginária. Existe a representação geométrica de um número complexo, o que pode acontecer no plano complexo, conhecido também como plano de Argand-Gauss. Outra forma de representação de um número complexo é a forma trigonométrica, conhecida também como forma polar.

Leia também: Qual é a origem dos sinais?

Números complexos

Forma algébrica de um número complexo.
Forma algébrica de um número complexo.

A partir da existência da matemática ao longo dos anos, as ideias envolvendo números foram se adaptando e desenvolvendo as necessidades do ser humano. Com a ideia de números, surgiram vários conjuntos numéricos, são eles:

Acontece que, na resolução de algumas equações, percebeu-se que o resultado era a raiz de um número negativo, resultado esse que não pertencia a nenhum conjunto antes da criação dos números complexos. Os estudos dos números complexos tiveram grandes contribuições de Giralmo Cardono, Gauss e Argand.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Forma algébrica de um número complexo

Na tentativa de resolver equações quadráticas, é bastante comum que apareça a raiz de um número negativo, por exemplo, a equação x² = -9 não possui solução no conjunto dos números reais, porém, quando se vale de números complexos, é possível representar sua solução.

Para resolver equações que envolvem raízes de números negativos, utilizamos a seguinte representação:

Então, ao resolvermos a equação x² = -9, temos que:

Existem duas soluções para essa equação que são números complexos, x = 3i ou x = -3i.

Todo número complexo z pode ser representado em sua forma algébrica:

z = a + bi

a → parte real

b → parte imaginária

Com a e b pertencentes ao conjunto dos números reais.

Exemplo:

3 + √-4 é um número complexo. Como não é possível calcular a raiz de um número negativo, vamos representar a raiz de -1 por i. Sabemos que a raiz de 4 é 2, logo, esse número será representado por:

z = 3 + 2i

Dependendo do valor de a e de b, existem três casos possíveis para o número complexo, ele pode ser imaginário, imaginário puro ou real.

  • Imaginário

Um número é considerado imaginário quando a sua parte real e a sua parte imaginária são diferentes de zero.

Exemplos:

a) z1 = -1 – 3i

b) z2 = 5 + i

c) z3 = 2 – 4i

d) z4 = -3 + 2i

  • Imaginário puro

Um número complexo é um imaginário puro quando a sua parte real é igual a zero.

Exemplos:

a) z1 = 2i

b) z2 = -3i

c) z3 = 0,5i

d) z4 = -4i

  • Real

Um número complexo é real quando a sua parte imaginária é igual a zero.

Exemplos:

a) 4

b) 2,5

c) √2

d) 7

Veja também: Dicas de Matemática para o Enem

Operações com números complexos

O conjunto dos números complexos possui operações bem definidas, logo, é possível realizar a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão entre eles.

  • Adição de dois números complexos

Para fazer a adição de dois números complexos, z1 e z2, basta somar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

Dados: z1 = a + bi e z2 = c + di, então, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

Exemplo:

z1 = 3 + 5i e z2 = 4 + i, então:

z1 + z2 = (3 + 4) + (5 + 1)i

z1 + z2 = 8 + 5i

  • Subtração de dois números complexos

Para realizar a subtração de z1 z2, faremos a subtração da parte real pela parte real e da parte imaginária pela parte imaginária.

Exemplo:

z1 = 4 + 2i e z2 = 1 + 4i

z1 z2 = (4 – 1) + (2 – 4)i

z1 z2 = 3 – 2i

  • Potências da unidade imaginária

Para compreender a multiplicação entre dois números complexos, antes é necessário entender como calcular a potenciação da unidade imaginária. Note que:

Ao calcular as próximas potências, é possível perceber que o resultado se repetirá:

i4 = i2 · i2 = (-1) (-1) = 1 → i0

i5 = i2 · i3 = (-1) (-i) = i → i1

i6 = i5 · i = i · i = -1 → i²

i7 = i6 · i = (-1) · i = -i → i³

Como a potência é cíclica, para calcular potências maiores, basta realizar a divisão do expoente por 4. Quando realizamos essa divisão, temos como opções de resto 0, 1, 2 ou 3, que será o novo expoente da potência.

Exemplo:

Calcule i35:

Dividindo 35 : 4, temos como quociente 8, pois 8 · 4 = 32, e o resto será 3. Então:

i35 = i3 = -i

  • Multiplicação de números complexos

Para a multiplicação de dois números complexos, vamos aplicar a propriedade distributiva.

Exemplo:

Calcule o produto de (5 + 3i) (2 – 3i):

(5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i – 9i² → sabemos que i² = -1

(5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i – 9 (-1)

(5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i + 9

(5 + 3i) (2 – 2i) = 19 – 9i

Leia também: Quatro conteúdos básicos de Matemática para o Enem

Conjugado de um número complexo

Conhecemos como conjugado de um número complexo escrito da forma a + bi o número complexo a – bi. Utilizamos o conjugado para calcular a divisão de dois números complexos.

Como não podemos deixar raiz no denominador de uma fração, para realizar a divisão, calculamos:

Multiplica-se pelo conjugado do denominador, a fim de eliminar a raiz do denominador.

Exemplo:

(6 – 4i) : (4 + 2i)

Plano de Argand-Gauss

Conhecido também como plano complexo, o plano de Argand-Gauss é uma adaptação do plano cartesiano para a representação de números complexos.

Os números complexos são representados por pontos no plano de Argand-Gauss com coordenadas (a,b). No eixo vertical, representamos a parte imaginária do número, e no eixo horizontal, a parte real.

Plano de Argand-Gauss
Plano de Argand-Gauss

Módulo de um número complexo

Assim como nos números reais, o módulo de um número complexo está ligado à distância que ele está da origem. Como estamos trabalhando com uma representação em um plano, essa distância é dada pelo teorema de Pitágoras.

Note que o módulo de z, representado por |z|, é a hipotenusa do triângulo retângulo. Então, temos que:

Exemplo:

Calcule o módulo de z = 3 + 2i.

|z|² = 3² + 4²

|z|² = 9 + 16

|z|² = 25

|z| = √25

|z| = 5

Veja também: Temas de Matemática que mais caem no Enem

Argumento de um número complexo

Conhecemos como argumento de um número complexo o ângulo formado entre o eixo horizontal e o seguimento do módulo de z.

Então, conhecemos como argumento de z o valor do ângulo θ arg (z) = θ. Para encontrar o valor desse ângulo, analisamos o valor do seno e do cosseno do ângulo θ.

Exemplo:

Encontre arg(z) sabendo que z = 1 + √3i.

Primeiro calcularemos |z|, para depois encontrarmos o seno e o cosseno do ângulo:

O ângulo que possui esses valores para o cosseno e para o seno é o de 60º, que pode ser representado também como π/3.

Forma trigonométrica ou polar

A forma trigonométrica é uma outra possibilidade de representação para um número complexo. Também é conhecida como forma polar de um número complexo. Analisando a fórmula do cosseno e do seno, podemos reescrever a parte real e a parte imaginária da seguinte forma:

Sabemos que

z = a + bi, então, temos que:

z = |z| cos θ + |z| sen θ · i

Colocando |z| em evidência, encontramos a forma trigonométrica do número:

z = |z|(cos θ + i · sen θ)

Exemplo:

Escreva na forma trigonométrica o número z = 1 + 1i.

Para escrever na forma trigonométrica, precisamos do argumento e do módulo de z.

|z|² = 1² + 1²

|z|² = 1 + 1

|z|² = 2

|z| = √2

Agora vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo:

Ao consultar a tabela dos ângulos notáveis, sabemos que o ângulo que possui seno e cosseno com os valores encontrados é θ = 45º. Então, na forma trigonométrica, temos que:

z = |z|(cos θ + i · sen θ)

z = √2(cos 45º + i · sen 45º)

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (FAG 2018) Considere a unidade imaginária dos números complexos.

O valor da expressão (i + 1)8 é:

A) 32i

B) 32

C) 16

D) 16i

E) 48

Resolução

Alternativa C

Temos que:

(i + 1)8 = ((i + 1)²)4 = (i² + 2i + 1²)4

(i + 1)8 = (-1 + 2i + 1)4

(i + 1)8 = (2i)4

(i + 1)8 = 24 i4

Sabemos que 4 : 4 = 0, então i4 = i0 = 1.

(i + 1)8 = 16 · 1 = 16

Questão 2 – (Uel) A forma algébrica do número complexo z = (1 + 3i)/(2 – i) é:

A) 1/2 – 3i

B) 5/3 + (7i/3)

C) -1/5 + (7i/5)

D) -1/5 + 7i

E) 3/5 + (4i/5)

Resolução

Alternativa C

Calculando a divisão:

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos de Números Complexos

Forma trigonométrica de um número complexo

Como escrever um número complexo na forma polar ou trigonométrica

Número Imaginário

Obtendo a raiz quadrada de um número negativo.

Operações com números complexos na forma algébrica

Adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos

Operações com números complexos na forma trigonométrica

Multiplicação e divisão na forma polar

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

Fórmula de Moivre para potenciação na forma trigonométrica.

Potências de i

Clique e aprenda o que é i dentro do conjunto dos números complexos. Aprenda a utilizar propriedades das potências e dos radicais para encontrar as potências de i. Saiba simplificar potências com expoente muito alto, de modo que o trabalho de calcular uma potência de i reduza-se a calcular i0, i1, i2 ou i3.