Números irracionais

Classificamos um número como irracional quando a sua representação decimal é uma dízima não periódica, ou seja, um número decimal infinito não periódico. O que leva esses números a serem conhecidos como irracionais é o fato de que eles não possuem representação fracionária.

São conhecidos como números irracionais as dízimas não periódicas — que são encontradas a partir de raízes não exatas, por exemplo — e também alguns casos particulares, como o π (lê-se: pi).

Leia também: Como resolver operações com conjuntos?

O que são os números irracionais?

As raízes quadradas não exatas são números irracionais.
As raízes quadradas não exatas são números irracionais.

A descoberta dos números irracionais foi feita durante o estudo da geometria. Na tentativa de descobrir o comprimento da hipotenusa de um triângulo que possui lados medindo 1, ao aplicar o teorema de Pitágoras, o resultado encontrado foi um número irracional.

h² = 1² + 1²

h² = 1 + 1

h = √2

Ao encontrar o número √2, os matemáticos perceberam que esse número não poderia ser classificado como racional, pois não pode ser escrito como uma fração. Surgiu, então, a necessidade da criação e do estudo de um novo conjunto, o conjunto dos números irracionais.

Para que um número seja irracional, a sua representação deve ser uma dízima não periódica. Um número irracional não pode ser representado como uma fração.

Na tentativa de encontrar um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte em 2, chegamos a uma dízima não periódica:

√2 = 1,41421356…

Toda raiz não exata é um número irracional.

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Exemplos:

  • √3 = 1,7320508…

  • √5 = 2,2360679…

  • √7 = 2,6457513…

  • √8 = 2,8284271…

  • √10 = 3,1622776…

Além das raízes não exatas, qualquer dízima não periódica é um número irracional.

Exemplos:

  • 4,123493…

  • 0,01230933…

  • 2,15141617…

Existem alguns casos especiais de dízimas não periódicas, como o número π, que é encontrado em problemas envolvendo a circunferência, e o número ɸ (lê-se: fi), que é bastante comum em problemas envolvendo proporções na natureza.

π = 3,14159265…

ɸ = 1,61803399…

Leia também: Números primos números que têm como divisores apenas o 1 e eles mesmos

Conjunto dos números irracionais

Com a descoberta das dízimas não periódicas e a constatação de que esses números não podem ser escritos como uma fração, surgiu um novo conjunto, o conjunto dos números irracionais, que é formado por todos os números cuja representação decimal é uma dízima não periódica.

Para representar o conjunto dos números irracionais, é comum o uso da letra I. Como existem infinitas dízimas periódicas, esse conjunto também é infinito. Da união dos números irracionais com os números racionais surgiu o conjunto dos números reais.

Diagrama dos conjuntos numéricos
Diagrama dos conjuntos numéricos

Números irracionais e números racionais

Os números reais podem ser divididos em dois conjuntos: o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Diferentemente dos números naturais e inteiros, que são também racionais, o conjunto dos números irracionais não possui nenhum elemento em comum com o conjunto dos números racionais, ou seja, ou um número é racional, ou um número é irracional, mas nunca os dois ao mesmo tempo.

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados como uma fração. Já o conjunto dos números irracionais é formado por números que não podem ser representados como uma fração.

São elementos do conjunto dos números racionais:

  • Números inteiros:

{ … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 …}

  • Números decimais exatos:

a) 1,5

b) 4,321

c) 9,83

a) 5,011111…

b) 8,14141414…

c) 0,33333…

Em resumo, todos os números que podem ser representados como uma fração fazem parte do conjunto dos números racionais.

Veja também: Diagrama de Venn método de representação geométrica dos conjuntos numéricos

Operações com números irracionais

  • Adição e subtração de números irracionais

Para somar ou subtrair números irracionais, o mais comum é usar uma aproximação racional desses números para conseguir realizar as operações. Muitas vezes, ao realizar a soma de dois números racionais, por exemplo, deixamos a operação indicada, mas não realizamos o cálculo em si.

Exemplos:

  • √2 +√3

  • √2 – √3

  • 0,0123543… + 4,151492304…

  • Multiplicação e divisão

A multiplicação ou a divisão quando o número é uma raiz não exata é uma operação possível, e o resultado nem sempre é um número irracional.

Exemplos:

  • √50 : √2 =√25 = 5 → Sabemos que 5 é um número racional.

  • √5 · √3 = √15 → Nesse caso, √15 é um número irracional, pois não possui raiz exata.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Durante a resolução de um problema envolvendo o teorema de Pitágoras, Marcelo encontrou o valor √20. Ao tentar calcular essa raiz quadrada, sobre o resultado encontrado, ele escreveu três afirmações.

I. O resultado é um número irracional.

II. A representação decimal é uma dízima periódica.

III. A representação decimal desse número está entre 4 e 5.

Das afirmativas feitas por Marcelo, ele acertou:

A) somente I e II.
B) somente II e III.
C) somente I e III.
D) todas as afirmativas.
E) somente a II.

Resolução

Alternativa C.

I → Correta, pois é uma raiz não exata.

II → Errada, pois uma raiz não exata é uma dízima não periódica.

III → Correta. √20 não é uma raiz exata, mas está entre √16 = 4 e entre √25 = 5.

Somente as afirmativas I e III estão corretas.

Questão 2 - Analise os números a seguir e classifique-os como racionais ou irracionais.

I) 3,1415

II) π

III) 1,123902123…

IV) √36

São considerados números irracionais:

A) somente I e IV.
B) somente II e III.
C) somente II e IV.
D) somente I e II.
E) somente III e IV.

Resolução

Alternativa B.

I → É um número decimal exato, logo é considerado um número racional.

II → O π é um número irracional, pois sua representação decimal é uma dízima não periódica.

III → Esse número é uma dízima não periódica, logo é um número irracional.

IV → Se calcularmos √36, o resultado é 6, que é um número racional.

São números irracionais somente II e III. 

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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