Dízima periódica

As dízimas periódicas são números que têm parte decimal periódica e infinita. Ao representar uma dízima periódica na sua forma decimal, a sua parte decimal é infinita e sempre possui um período, ou seja, um número que se repete de forma contínua.

Uma dízima periódica pode ser representada na forma de uma fração. Quando dividimos o numerador de uma fração pelo denominador, encontramos a representação decimal do número, se essa representação decimal for uma dízima periódica, a fração é conhecida como fração geratriz da dízima.

Existem dois tipos de dízimas periódicas, as simples, quando existe somente o período na parte decimal, e as compostas, quando a sua parte decimal tem período e o antiperíodo.

Leia também: Como fazer a simplificação de frações?

Representação da dízima periódica

A dízima periódica é um número cuja representação decimal é infinita e possui período.
A dízima periódica é um número cuja representação decimal é infinita e possui período.

Quando um número tem infintas casas decimais, existem maneiras diferentes de representá-lo. Além da representação em fração, a representação decimal de uma dízima periódica pode ser feita de duas maneiras. Em uma delas colocamos reticências ao final do número, na outra, colocamos uma barra acima do período da dízima, ou seja, a barra fica acima dos números que se repetem no período.

Exemplos:

Tipos de dízima periódica

Existem dois tipos de dízima periódica, a simples, quando em sua parte decimal existe apenas o período, e a composta, quando a sua parte decimal é composta pelo período e pelo antiperíodo.

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  • Dízima periódica simples

É considerada assim quando possui somente parte inteira e o período, que vem depois da vírgula.

Exemplo 1:

2,444…
2→ parte inteira
4 → período

Exemplo 2:

0,14141414…
0 → parte inteira
14 → período

Exemplo 3:

5 → parte inteira
43 → período

  • Dízima periódica composta

É considerada assim quando tem um antiperíodo, ou seja, uma parte não periódica depois da vírgula.

Exemplo 1:

2,11595959…

2 → parte inteira
11 → antiperíodo
59 → período

Exemplo 2:

12,003333…

12 → parte inteira
00 → antiperíodo
3 → período

Exemplo 3:

0 → parte inteira
43 → antiperíodo
98 → período

Veja também: O que são frações equivalentes?

Fração geratriz

As dízimas periódicas são consideradas números racionais, logo, toda dízima periódica pode ser representada por meio de uma fração. A fração que representa a dízima periódica é conhecida como fração geratriz. Para encontrar a fração geratriz, podemos utilizar equação ou o método prático.

Primeiro encontraremos a fração geratriz de dízimas periódicas simples.

Exemplo:

Encontre a fração geratriz da dízima 12,333…

1º passo: identificar parte inteira e parte periódica.

Parte inteira: 12

Parte periódica: 3

2º passo: igualar a dízima a uma incógnita.

Faremos x = 12,333…

3º passo: multiplicar a dízima por 10 para que o período apareça na parte inteira.

(Observação: se houver dois números no período, multiplicamos por 100, se houver três, por 1000, e assim sucessivamente.)

x = 12,333…

10x = 123,333…

4º passo: agora faremos a diferença entre 10x e x.

  • Método prático para encontrar a geratriz de dízimas periódicas simples

Utilizando o mesmo exemplo para encontrar a dízima periódica pelo método prático, precisamos entender como se encontra o numerador e o denominador na fração.

Exemplo:

12,333…

Encontraremos a parte inteira e o período:

12 → parte inteira
3 → período

Calculamos a diferença entre o número composto pela parte inteira com o período e o número formado só pela parte inteira, ou seja:

123 – 12 = 111

Esse será o numerador da dízima.

Para encontrar o denominador da dízima, basta acrescentar um algarismo 9 para cada número no período. Como só há um número no período nesse exemplo, então o denominador será 9.

Tendo, desse modo, como fração geratriz da dízima a fração:

Veja também: 3 macetes de Matemática para o Enem

Fração geratriz de uma dízima periódica composta

Quando o período é composto, encontrar a fração geratriz é um pouco mais trabalhoso. Existem também os dois métodos, ou seja, equação ou método prático.

Exemplo:

Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 5,23444…

1º passo: identificar parte inteira, período e antiperíodo.

5 → parte inteira
23→ antiperíodo
4 → período

2º passo: igualar a dízima a uma incógnita.

X = 5,23444...

3º passo: agora vamos multiplicar por 10 para cada número que houver no antiperíodo e para cada número que houver no período:

Antiperíodo = 23, há dois números no antiperíodo.
Período = 4, há um número no período.
X = 5,23444...
1000x = 5234,44...

4º passo: multiplicar x por 10 para cada número no antiperíodo.

Como há dois números no antiperíodo, então multiplicaremos x por 100.

x = 5,23444...
100x = 523,444…

Agora é possível calcular a diferença entre 1000x e 100x

  • Método prático para encontrar a geratriz de uma dízima composta

Encontraremos a fração geratriz da dízima 5,234444… pelo método prático.

Primeiro identificamos a parte inteira, o antiperíodo e o período:

5 → parte inteira
23 → antiperíodo
4 → período

Para encontrar o numerador, calculamos a diferença entre o número gerado com parte inteira, antiperíodo e período, sem a vírgula, e o número gerado pela parte inteira e o antiperíodo, ou seja:

5234 – 523 = 4711

Para encontrar o denominador, vamos analisar primeiro o período; para cada número no período, acrescentamos um 9 no denominador. Depois disso, vamos olhar o antiperíodo; para cada número no antiperíodo, acrescentamos um 0 antes do 9.

No exemplo há apenas um número no período (acrescentamos um 9) e dois no antiperíodo (acrescentamos 00).

Então o denominador será 900, encontrando, assim, a fração geratriz da dízima:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Dos números seguintes, quais são dízimas periódicas?

I) 3,14151415
II) 0,00898989...
III) 3,123459605023…
IV) 3,131313...

A) Todos eles
B) II, III e IV
C) II, IV
D) I e, II, III
E) Nenhum deles

Resolução

Alternativa C

I → não é uma dízima, pois não tem parte decimal infinita.
II → é uma dízima periódica composta.
III → não é uma dízima periódica, pois não tem período.
IV → é uma dízima periódica.

Questão 2 – A fração geratriz da dízima periódica 3,51313… é:

Resolução

Alternativa B

Trata-se de uma dízima periódica composta. Identificando cada uma das partes, temos que:

3 → parte inteira
5 → antiperíodo
13 → período

Pelo método prático, o numerador será:

3512 – 35 = 3478

Já o denominador será 990 (dois números no período e um no antiperíodo).

Assim, a fração geratriz da dízima é:

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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