Funções e Relações Fundamentais da Trigonometria

As relações fundamentais da trigonometria, assim como as relações decorrentes, são de extrema importância na resolução de equações e identidades trigonométricas.

A partir das relações trigonométricas no triângulo retângulo, definem-se as funções trigonométricas do seno e cosseno. Em decorrência destas, surge a primeira relação fundamental da Trigonometria:

tg (x) = sen (x)
            
cos (x)

Essa relação é conhecida como a função trigonométrica da tangente. A segunda e talvez a mais importante das relações fundamentais da trigonometria é:

sen² (x) + cos² (x) = 1

A prova dessas relações pode ser feita a partir de análises de aplicações do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. Entretanto, a demonstração dessas relações fundamentais não é interessante nesse momento.

Ainda dentro das relações fundamentais, temos as funções inversas do seno, do cosseno e da tangente. Cada uma delas recebe um nome especial, que são:

Secante → função inversa do cosseno

sec (x) =         1       
              
cos (x)

Cossecante → função inversa do seno

cossec (x) =       1       
                     
sen (x)

Cotangente → função inversa da tangente

cotg (x) =      1     ou cotg (x) = cos (x)
                    tg (x)                       sen (x)

Desenvolvendo as relações fundamentais, podemos estabelecer relações decorrentes que também são de grande importância dentro da Trigonometria. Vejamos a demonstração para determiná-las:

1ª relação decorrente:

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Considere a relação sen² (x) + cos² (x) = 1. Vejamos o que teremos se dividirmos toda a igualdade por cos² (x).

sen² (x) + cos² (x) =       1      
         
cos² (x)    cos² (x)    cos² (x)          

tg² (x) + 1 = sec² (x)
ou
tg² (x) = sec² (x) 1

2ª relação decorrente:

Partindo novamente da relação sen² (x) + cos² (x) = 1, vamos agora dividir a igualdade por sen² (x).

sen² (x) + cos² (x) =       1      
sen² (x)    sen² (x)    sen² (x) 

1 + cotg² (x) = cossec² (x)
ou
cotg² (x) = cossec² (x) 1

As funções trigonométricas, as relações fundamentais da trigonometria e as relações decorrentes são de extrema importância nas resoluções de equações e identidades trigonométricas. Junto a elas, são também muito utilizadas as funções do arco duplo:

sen (2x) = 2 . sen (x) . cos (x)
cos (2x) = cos² (x) – sen² (x)
tg (2x) = 2. tg (x)
               
1 – tg² x

Aproveite pra conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Conheça essas e outras relações trigonométricas

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Por: Amanda Gonçalves Ribeiro

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