Projeções ortogonais

Projeções ortogonais são a imagem de uma figura geométrica ou objeto matemático projetada perpendicularmente em um plano.

Projeção ortogonal é a imagem projetada sobre um plano de uma figura geométrica ou objeto matemático pertencentes ao espaço. Muitas vezes essa imagem é comparada à sombra que essa figura teria ao meio-dia, pois a ideia de projeção ortogonal é exatamente igual a essa.

Questões envolvendo projeções de figuras geométricas são comuns em exames como o Enem e não costumam apresentar um alto grau de dificuldade. A seguir, veja os casos mais importantes de projeções ortogonais e um exemplo de questões do Enem sobre o assunto.

Projeção do ponto sobre o plano

A projeção ortogonal do ponto sobre o plano é o pé do segmento de reta perpendicular ao plano cujas extremidades são o próprio plano e o ponto observado. Essa projeção também é um ponto, mas estará no plano.

Lembre-se de que uma reta (e, por consequência, um segmento de reta) concorrente a um plano no ponto A é perpendicular a ele quando é perpendicular a todas as retas do plano que passam por A.

Sendo assim, podemos dizer que a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o ponto que está na outra extremidade da distância relativa ao ponto e ao plano.

Ponto fora de um plano e sua projeção ortogonal
Ponto fora de um plano e sua projeção ortogonal

Projeção da reta sobre o plano

A projeção ortogonal da reta r sobre o plano α pode render dois resultados distintos. Uma reta perpendicular ao plano tem como projeção ortogonal apenas um ponto. Para visualizar isso, imagine a sombra (ao meio-dia) de uma reta na posição vertical sobre o plano.

Se a reta r não for perpendicular a um plano α, sua projeção ortogonal será a intersecção entre o plano perpendicular ao plano α que contém essa reta e o próprio plano α. Essa intersecção é outra reta totalmente contida em α. Observe a imagem a seguir:

Representação da projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
Representação da projeção ortogonal de uma reta sobre um plano

Projeção de um segmento de reta

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Também existem dois casos para a projeção de segmentos de reta sobre o plano:

  1. O segmento de reta é ortogonal ao plano e, por isso, tem como projeção apenas um ponto;

  2. O segmento de reta não é ortogonal ao plano. Sua projeção é o segmento de reta do plano cujas extremidades são as projeções ortogonais das extremidades do segmento dado.

Representação da projeção ortogonal do segmento de reta sobre o plano
Representação da projeção ortogonal do segmento de reta sobre o plano

Projeção de uma figura

Quando o objeto a ser projetado é uma figura, sua projeção ortogonal é outra figura no plano composta pelas projeções ortogonais de todos os pontos da figura dada.

Projeção de pontos em movimento

Questões envolvendo projeção ortogonal necessitam muito do uso da imaginação para serem resolvidas. Geralmente são colocadas trajetórias muito parecidas entre as alternativas de questões objetivas e, especialmente, são colocadas trajetórias do movimento em outra perspectiva.

Observe o exercício a seguir que exemplifica a projeção ortogonal de um ponto em movimento.

Exemplo – (ENEM/2014) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D e E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto E.

A figura que melhor representa a projeção ortogonal sobre o piso da casa (plano) do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:

Solução:

Observe que o exercício fala “a figura que melhor representa”. Isso significa que essa figura não necessariamente está completamente correta. É exatamente o que acontece nesse caso, pois a figura que representa a projeção ortogonal do lado de fora de uma espiral é um círculo. A letra “c” é a que melhor representa o círculo, mesmo faltando uma parte dele.

Gabarito: Letra C.

As projeções ortogonais já foram tema de questões do Enem

As projeções ortogonais já foram tema de questões do Enem

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Equação geral da reta

Aprenda a encontrar a equação da reta. Conheça a diferença entre a equação geral e a equação reduzida da reta. Encontre também a equação de um segmento de reta.

Equação reduzida da reta

Conheça a equação reduzida da reta. Aprenda a encontrar a equação reduzida de uma reta. Represente uma reta no gráfico com base na sua equação reduzida.

Paralelepípedos

Clique para aprender o que são paralelepípedos, suas classificações, as propriedades de alguns de seus elementos e o cálculo de suas diagonais.

Paralelismo

Trabalhando com retas paralelas

Pirâmides

Clique e aprenda o que são pirâmides, veja alguns exemplos e aprenda a calcular o seu volume.

Polígonos

Clique para entender o que são polígonos, suas características e tipos!

Ponto de intersecção entre duas retas concorrentes

Aprenda a encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre duas retas concorrentes.

Quadrados

Aprenda o que são quadrados e como essas figuras estão relacionadas com os paralelogramos, dos quais herdam características e propriedades.

Retas

Clique para aprender o que são retas e algumas de suas propriedades e classificações básicas!

Retângulos

Clique para conhecer as propriedades e características dos retângulos, figuras geométricas que possuem quatro lados.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras e o surgimento dos números irracionais.

Teorema de Tales

Conheça o teorema de Tales e como utilizá-lo para encontrar o comprimento de segmentos proporcionais.

Área total do cilindro

Fórmula para o cálculo da área total de um cilindro

Área total do cone

Descubra como obter a área total de um cone de revolução