Volume da pirâmide

O volume da pirâmide é dado pelo cálculo: um terço da área da sua base multiplicado por sua altura. Em outras palavras, um terço do volume do prisma de mesma base e altura.

O volume de um sólido geométrico é a medida de sua capacidade, geralmente dada em metro cúbico (m3) ou em unidade de medida mais apropriada que tenha o m3 como base.

Geralmente, o volume é obtido por meio de uma fórmula matemática, como é o caso da pirâmide. A fórmula usada para calcular o volume da pirâmide é: um terço do produto da área da sua base por sua altura. Algebricamente, essa fórmula é expressa da seguinte maneira:

A base de uma pirâmide é um polígono qualquer e seus lados são todos triangulares. No geral, os exercícios sobre volume da pirâmide envolvem pirâmides de base quadrada, triangular ou algum polígono regular. Para compreender melhor a definição de pirâmide clique aqui. Para aprender a calcular a área do polígono regular, clique aqui.

A área da base da pirâmide é, portanto, igual à área de um polígono, e a fórmula usada para calculá-la depende desse polígono. Assim, as pirâmides são classificadas de acordo com o formato de sua base.

Acompanhe abaixo uma questão que envolvem volume da pirâmide e usar a fórmula apresentada acima.


Exercício 1

Determine o volume de uma pirâmide de base quadrada cuja aresta da base mede 10 cm e a altura da pirâmide mede 9 cm.

Primeiramente, calcule a área da base da pirâmide. Como a base é quadrada, basta fazer:

Posteriormente, calcule o volume da pirâmide, usando a fórmula específica para isso:

Portanto, o volume da pirâmide é de 300 cm³.


Relação entre volume da pirâmide e volume do prisma

Há uma relação entre os volumes da pirâmide e do prisma, desde que essas figuras tenham as mesmas medidas de base e de altura. Dizemos que o volume da pirâmide é igual a um terço do volume do prisma:

3Vpirâmide = Vprisma

O volume do prisma é igual à área de sua base (Ab) multiplicada pela altura (h) desse sólido geométrico. Matematicamente:

Vprisma = Ab·h

Abaixo, resolveremos uma questão em que serão empregados cálculos do volume do prisma para encontrar o volume da pirâmide.


Exercício 2

Uma pirâmide está inscrita em um prisma de base quadrada. Sabendo que a área da base do prisma mede 24 cm2 e o volume desse mesmo sólido é de 240 cm3, calcule o volume da pirâmide.

Uma pirâmide inscrita em um prisma compartilha com ele área da base e a altura. Logo, o volume da pirâmide será igual à terça parte do volume do prisma (ou o volume do prisma será igual a 3 vezes o volume da pirâmide). Dito isso, basta fazer:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Portanto, o volume da pirâmide é de 80 cm3.


Exercício sobre volume da pirâmide no Enem

(Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

a) 156 cm3

b) 189 cm3

c) 192 cm3

d) 216 cm3

e) 540 cm3

Para resolver esse problema, teremos que subtrair o volume da pirâmide superior do volume total da vela. Como a vela possui 19 cm de altura e três espaços de 1 cm nessa altura, podemos concluir que a parte que possui parafina, sem espaços, tem 19 – 3 = 16 cm de altura. Como as quatro partes da vela possuem mesma altura, a parte superior da vela terá 16 : 4 = 4 cm de altura.

Note também que a base da pirâmide superior é quadrada, e o lado desse quadrado mede 1,5 cm. Substituindo esses valores na fórmula do volume da pirâmide para obter o volume da pirâmide superior, teremos:

 Já o volume total da vela, considerando que sua base tem 6 cm de aresta e que ela possui 16 cm de altura, será:

O volume das três partes restantes da pirâmide equivale à quantidade de parafina que o fabricante passará a gastar. Logo, para calcular esse volume basta subtrair o volume da parte superior do volume total da vela:

192 – 3 = 189 cm3

Gabarito: Alternativa B

As famosas pirâmides de Gizé têm bases quadradas.

As famosas pirâmides de Gizé têm bases quadradas.

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Pirâmides

Clique e aprenda o que são pirâmides, veja alguns exemplos e aprenda a calcular o seu volume.

Princípio de Cavalieri

Conheça o princípio de Cavalieri e entenda a sua importância no desenvolvimento de fórmulas para calcular o volume de sólidos geométricos.

Quadrados

Aprenda o que são quadrados e como essas figuras estão relacionadas com os paralelogramos, dos quais herdam características e propriedades.

Volume do tronco de pirâmide

Clique e aprenda a calcular o volume de um tronco de pirâmide.

Área do polígono regular

Clique e descubra como calcular a área de um polígono regular e aprenda como sua fórmula pode ser demonstrada.

Área do retângulo

figuras planas, área de figuras planas, nomenclaturas de figuras planas, quantidades de lados de uma figura plana, relação dos lados com a nomenclatura de figuras, fórmula para o cálculo da área do retângulo, área do retângulo, área do quadrado.