Paralelogramo

 Os paralelogramos recebem esse nome por possuírem os lados opostos paralelos entre si. O paralelogramo é um polígono de quatro lados, estudado na geometria plana e com várias aplicações em exercícios que envolvem quadriláteros. Por definição, o paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos entre si, como:

Cada um desses polígonos é um caso particular de paralelogramo, e cada um deles possui fórmulas específicas para o cálculo de área e de perímetro. Devido as suas características, existem propriedades específicas dos paralelogramos relacionando seus ângulos e seus lados.

Leia também: Trapézio – quadrilátero que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos

Elementos de um paralelogramo

  • Lados paralelos

Para que um polígono seja um paralelogramo, deve ter os lados opostos paralelos:

Os vértices são A, B, C e D, então AB, BC, CD e AD são os lados do paralelogramo, além disso, perceba que AB // DC e que AD // BC.

  • Soma dos ângulos

Por ser um quadrilátero, em todo paralelogramo, a soma dos ângulos internos é igual a 360º.

  • Diagonais

Todo paralelogramo possui duas diagonais.

Os segmentos AC e BD são as diagonais desse paralelogramo.

Vale ressaltar que as características anteriores são todas herdadas pelo fato de o paralelogramo ser um quadrilátero, logo, todas elas se estendem para todos os polígonos que possuem quatro lados, porém existem propriedades exclusivas dos paralelogramos.

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Propriedades dos paralelogramos

  • 1ª propriedade: os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

Uma propriedade muito importante é a de que os lados opostos de um paralelogramo sempre têm a mesma medida, ou seja, são congruentes.

AB ≡ CD e AD ≡ BC

  • 2ª propriedade: dois ângulos opostos em um paralelogramo são sempre congruentes.

Α ≡ γ e δ ≡ β

  • 3º propriedade: dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são sempre suplementares.

Em um paralelogramo, dois ângulos consecutivos têm soma sempre igual a 180º, com base na imagem da propriedade anterior, temos que:

α + β = 180º

α + δ = 180º

δ + γ = 180º

β + γ = 180º

  • 4ª propriedade: o ponto de encontro das duas diagonais é o ponto médio de cada uma delas.

Ao traçar as diagonais de um paralelogramo, o ponto de encontro entre elas divide-as ao meio.

M é o ponto médio das diagonais.

Veja também: O que são polígonos semelhantes?

Qual é a área de um paralelogramo?

Para encontrar o valor da área de um paralelogramo, precisamos conhecer as dimensões da base e da altura desse polígono. Calcular a área nada mais é que encontrar o produto entre a base b e a altura h.

A = b x h

Qual é o perímetro de um paralelogramo?

Assim como todo polígono, para encontrar o perímetro de um paralelogramo, basta calcular a soma de todos os seus lados. Conhecendo os lados do paralelogramo, o perímetro é calculado por:

P = 2(a + b)

Exemplos:

Calcule a área e o perímetro do paralelogramo a seguir:

A = b × h

A = 6 × 4 = 24 cm²

Já o perímetro, temos que:

P = 2 (6 + 5) = 2 · 11 = 22 cm

Veja também: Congruência de figuras geométricas – quando figuras diferentes possuem mesmas medidas

Casos especiais de paralelogramo

Existem três casos particulares de paralelogramos, são eles o quadrado, o retângulo e o losango. Os três polígonos são paralelogramos importantes estudados como formas particulares.

  • Retângulo

Para ser classificado como um retângulo, o paralelogramo precisa ter todos os ângulos congruentes. Quando isso ocorre, todos os seus ângulos são de 90º, ou seja, retos, o que justifica o nome retângulo, que faz menção à medida dos ângulos. O detalhe é que, quando temos um retângulo, o lado que está na vertical coincide com a altura. A área pode ser encontrada com a multiplicação entre dois lados perpendiculares, e o perímetro é igual ao do paralelogramo.

A = b × a

P = 2 (a + b)

  • Losango

Um paralelogramo é considerado um losango quando ele possui os quatro lados congruentes. Não há nenhuma restrição para os seus ângulos, podendo ser congruentes ou não. Para encontrar a área do losango, é necessário saber o valor da sua diagonal, já o perímetro é a soma dos quatro lados congruentes.

P = 4l

  • Quadrado

O quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos retos, ou seja, todos os seus ângulos medem 90º. Ele pode ser considerado tanto um retângulo quanto um losango, e possui também as propriedades dos dois.

Como ele é um paralelogramo, para calcular a sua área, multiplicamos a base pela altura, e, para calcular o perímetro, somamos todos os lados do quadrado, nesse caso, temos que:

A = l²

P = 4l

Palitos posicionados em formato de um paralelogramo.
Palitos posicionados em formato de um paralelogramo.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Analisando o paralelogramo a seguir, o valor de x + y é:

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Resolução

Alternativa D

Como a figura é um paralelogramo, então os lados opostos são iguais, logo, temos que:

4y = 3y + 2

4y – 3y = 2

y = 2

Além disso:

3x – 4 = 2x + 1

3x – 2x = 1 + 4

x = 5

Então, x + y = 5 + 2 = 7

Questão 2 – Em um pátio de uma escola, o piso será todo substituído. Para calcular a quantidade de material que será utilizado, é importante conhecer a medida da área do pátio. Sabendo que esse pátio possui o formato de um paralelogramo com 4 metros de base e 5 metros de altura, então a área desse pátio é:

A) 10 m²

B) 100 m²

C) 200 m²

D) 20 m²

E) 15 m²

Resolução

Alternativa D

A = b × h

A = 4 × 5

A = 20 m² 

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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