O teorema de Pitágoras é uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo.
O teorema de Pitágoras, fundamental em diversas áreas da Matemática, é um instrumento para o estudo do triângulo retângulo. Segundo esse teorema, se conhecemos as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, podemos descobrir a medida do terceiro lado.
Pitágoras de Samos — filósofo e matemático grego que viveu no século VI a.C. — foi um dos estudiosos a demonstrar esse teorema, que posteriormente recebeu seu nome. Mas tal contribuição não se limitou à época de Pitágoras. Ao longo da história, novas teorias matemáticas permitiram o uso do teorema na criação dos números irracionais e no desenvolvimento da Trigonometria.
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Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?
A fórmula do teorema de Pitágoras estabelece que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos:
(medida da hipotenusa)² = (medida de um cateto)² + (medida do outro cateto)²
Assim, para utilizar o teorema de Pitágoras, é necessário identificar quem é a hipotenusa e quem são os catetos em cada triângulo. Lembre-se de que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°, e os catetos são os lados que formam o ângulo de 90°.
Exemplo 1: Encontre o valor de c nos triângulos ABC abaixo.
a)
Perceba que o lado c é a hipotenusa e os lados medindo 6 e 8 são os catetos. Assim, utilizando o teorema de Pitágoras:
\(c^2=6^2+8^2\)
\(c^2=36+64\)
\(c^2=100\)
\(c=\sqrt{100}\)
\(c=10\)
b)
Perceba que o lado c é um dos catetos, enquanto o lado medindo 4 é o outro cateto e o lado medindo 5 é a hipotenusa. Assim, utilizando o teorema de Pitágoras:
\(5^2=c^2+4^2\)
\(25=c^2+16\)
\(25-16=c^2\)
\(c^2=9\)
\(c=\sqrt9\)
\(c=3\)
Cuidado: No item a) do exemplo anterior, a medida c corresponde à hipotenusa, mas no item b), a medida c corresponde a um dos catetos. Por isso, ao trabalhar com um triângulo retângulo, o primeiro passo é distinguir seus componentes.
Videoaula sobre o teorema de Pitágoras
O triângulo pitagórico
Um triângulo retângulo é chamado de pitagórico se as medidas de seus lados forem números inteiros. Esses números formam os ternos pitagóricos, como (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) e (15, 20, 25) por exemplo.
Observe que nem todo triângulo retângulo é pitagórico. O triângulo abaixo possui catetos medindo 1,5 cm e 2 cm, além de hipotenusa com 2,5 cm.
Apesar dessa diferença, o teorema de Pitágoras é válido para todos os triângulos retângulos.
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Demonstração do teorema de Pitágoras
Existem diversas maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras. Uma delas consiste na análise geométrica das áreas de uma figura auxiliar. Considere um triângulo retângulo com catetos medindo a e b e hipotenusa medindo c. Portanto, nosso objetivo final é concluir que c² = a² + b².
Para construir a figura, acompanhe os seguintes passos:
1. Desenhe 4 triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c. (Indicados na imagem a seguir em amarelo).
2. Posicione esses triângulos de modo que cada um forme os seguintes ângulos com a horizontal: 0°, 90°, 180°, 270°.
3. Aproxime os triângulos até que formem externamente um quadrado de lado c e internamente um quadrado de lado b-a.
Note que o quadrado maior, de lado medindo c, é composto por 4 triângulos retângulos e por um quadrado menor de lado b-a. Assim, a área do quadrado maior pode ser expressa da seguinte forma:
área do quadrado maior = 4 x (área de cada triângulo retângulo) + área do quadrado menor
Pela construção da figura, temos que:
-
Área do quadrado maior = \(c^2\)
-
Área de cada triângulo retângulo = \(\frac{a.b}2\)
-
Área do quadrado menor = \((b-a)^2=b^2-2ba +a^2\)
Portanto, substituindo na expressão da área do quadrado maior, concluímos que:
\(c^2=4×\frac{a.b}{2}+b^2-2ba+a^2\)
\(c^2=2ab+b^2-2ba+a^2\)
\(c^2=a^2+b^2\)
Teorema de Pitágoras e os números irracionais
A escola pitagórica foi uma comunidade científica, filosófica e mística fundada por Pitágoras para o estudo da Matemática, da Filosofia e das ciências naturais. Esse grupo de estudiosos acreditava que o número era a essência de todas as coisas e que o mundo era formado por proporções bem estabelecidas. Para eles, todo número poderia ser escrito como uma razão entre dois números inteiros — o que conhecemos hoje como números racionais.
No entanto, essa concepção pitagórica desconsiderava um enorme conjunto de números: os números irracionais. Isso ficou evidente no estudo do seguinte problema: “Quanto mede a diagonal de um quadrado de lado 1?”.
Como o quadrado é uma figura em que todos os ângulos medem 90°, a diagonal o divide em dois triângulos retângulos com catetos medindo 1 e hipotenusa com medida igual à diagonal. Logo, é possível utilizar o teorema de Pitágoras.
Seja x a medida da diagonal do quadrado de lado 1. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras:
\(x^2=1^2+1^2\)
\(x^2=1+1\)
\(x^2=2\)
\(x=\sqrt2\)
Com o surgimento de novas ideias e formalizações matemáticas ao longo do tempo, os irracionais foram reconhecidos e aceitos pelos estudiosos como números.
Teorema de Pitágoras na Trigonometria
O teorema de Pitágoras também é essencial para a Trigonometria, área da Matemática que estuda a relação entre os lados e os ângulos dos triângulos. Sua aplicação é notável, por exemplo, na construção das fórmulas da altura e da área de um triângulo equilátero.
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Exercícios resolvidos sobre teorema de Pitágoras
Questão 1
(Enem 2019) Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão.
A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm.
Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é
a) \(2\sqrt{22}\) cm
b) \(6\sqrt3\) cm
c) 12 cm
d) \(6\sqrt5\) cm
e) \(12\sqrt2\) cm
Resolução:
Alternativa D
Observe que ADE é um triângulo retângulo, com AD = 12 cm e DE = 6 cm (pois DC = 18 cm e EC = 12cm). Aplicando o teorema de Pitágoras em ADE:
\((AE)^2=(AD)^2+(DE)^2\)
\((AE)^2=12^2+6^2\)
\(AE=\sqrt{180}\)
\(AE=6\sqrt5\)
Questão 2
(Enem 2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade desse suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
a) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
b) \( 10-\sqrt{91}\)
c) 1
d) 4
e) 5
Resolução:
Alternativa C
Segundo o texto, o melão possui um diâmetro de 10 cm. Assim, seu raio mede 5 cm, ou seja, OB = 5. Ainda, 5 = AO + h e r = 3.
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo OAB, temos que AO = 4 cm. Portanto, h = 1cm.