Juros Compostos

O juros composto é bastante recorrente em empréstimos bancários, financiamentos de moradia ou carro e também em investimentos, como poupança, entre outros. Na matemática financeira, para trabalhar-se com o juros composto, é necessário compreender-se cada uma das suas variáveis, são elas:

  • o capital, que é o valor inicial;
  • a taxa de juros, que é a porcentagem cobrada de juros ao decorrer do tempo;
  • o tempo, que pode ser contado em dias, meses, bimestres, semestres, anos, ou seja, em qualquer intervalo de tempo;
  • o montante, que é o valor resgatado ao final da transação.

Para calcular o juros composto, usamos uma fórmula específica com cada um desses elementos. Além deles, existe o juros simples. A diferença entre eles é que no juros simples o juros será fixo, cobrado em cima do capital somente, já no juros composto, há uma cobrança de juros em cima do valor anterior, do capital mais o juros, ou seja, há juros sobre juros. Isso faz com que o juros composto resulte em valores maiores que o juros simples ao decorrer do tempo.

Leia também: 3 macetes matemáticos para o Enem

Fórmula do juros composto

O juros composto é objeto de estudo da matemática financeira.
O juros composto é objeto de estudo da matemática financeira.

A fórmula do juros composto é formada por quatro variáveis, são elas: capital, juros, taxa de juros, tempo e montante.

 

M = C (1 + i)t

M: montante

C: capital

i: taxa de juros

t: tempo

  • Capital (C): é o primeiro valor da negociação; é o valor que pegamos emprestado em um caso de financiamento, ou o valor que foi investido no primeiro; é o valor inicial que serve como referência para calcular-se o juros.
  • Montante (M): é o valor final da minha transação, após um tempo, ao valor do meu capital será adicionado o que chamamos de juros, o valor final, ou seja, a soma do capital com o juros, gera o que conhecemos como montante: M = C + J.
  • Juros (J): muitas vezes confundido com a taxa de juros, os juros é o valor de correção do capital, ou seja, é o valor adquirido a mais, calculado em cima do capital ao decorrer do tempo. Em um empréstimo, por exemplo, juros é o valor pago a mais ao final do prazo, em um investimento, o juros é o rendimento adquirido em cima do capital. Ele é calculado pela diferença entre o montante e o capital, ou seja: J = M – C.
  • Tempo (t): é o prazo em que o capital ficará na transação, ele pode ser dado em qualquer unidade de tempo, ou seja, em dias, meses, bimestres, semestres, anual. É importante que o tempo e a taxa de juros estejam com a mesma unidade de medida para realizar-se o cálculo.
  • Taxa de juros (i): é a porcentagem cobrada a cada intervalo de tempo.

Veja também: O que é índice percentual?

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Como calcular o juros composto

Para calcular-se o juros composto, ou qualquer outra variável envolvendo-o, basta substituir os valores conhecidos na fórmula, para isso, é necessário o domínio da resolução de equações.

Exemplo 1:

Um capital de R$ 4000 foi aplicado a juros composto, com taxa de 10% a.a. Qual será o montante e o juros gerados após 3 anos?

Dados:

C = 4000

t = 3 anos

i = 10% a.a.

Vamos representar 10% em sua forma decimal = 0,1.

Temos que:

M = C (1 + i) t

M = 4.000 (1 + 0,1)³

Após a substituição, vamos resolver a equação:

M = 4000 (1,1)³

M = 4000 · 1331

M = 5324

Para encontrar o juros, basta calcular a diferença J = M – C.

J = M – C = 5324 – 4000 = 1324

Então temos que:

M = R$ 5324

J = R$ 1324

Exemplo 2:

Durante quanto tempo um capital deve ser investido a uma taxa de 5% a.a para que ele dobre o seu valor? (Use log 1,05 = 0,2 e log 2 = 0,3)

Se o montante será o dobro do capital, então temos que:

M = 2C

1 ano e meio, ou seja, 1 ano e 6 meses.

Diferença entre juros simples e juros composto

A diferença entre o juros simples e juros composto inicia-se ao analisarmos matematicamente o comportamento de cada um deles. Acontece que as fórmulas de cálculo são diferentes, o juros simples é calculado pela fórmula:

J = C · i · t

Nesse caso, ao trabalhar-se com juros simples, o valor somado a cada ciclo é sempre o mesmo, por exemplo:

Se em um investimento de R$ 1000 o juros for de 10% ao mês, então, a cada mês, no regime de juros simples, serão acrescentados R$ 100, assim, no decorrer de 5 meses, haveria um aumento de R$ 500, então, o montante seria de R$ 1500.

Nos juros compostos, o comportamento é bem diferente. Para valores e intervalos de tempo maiores, a diferença torna-se muito grande. Utilizando-se do mesmo valor, R$ 1000, a juros de 10% ao mês, no primeiro mês, o acréscimo seria o mesmo que no juros simples, ou seja, R$ 100, porém, a partir do segundo mês, esse juros é calculado em cima do valor atual e não do inicial. Como agora temos R$ 1100, o juros será de 10% desse valor, R$110, resultando em R$ 1210 no segundo mês.

No terceiro mês, calcula-se mais uma vez 10% do valor atual (R$ 1210), que é igual a R$ 121, gerando um total de R$ 1232, repetindo-se esse processo se esse capital ficar o mesmo tempo que o outro, ou seja, 5 meses. Se for o caso, ele vai gerar um montante de R$ 1610,51. A diferença nesse prazo foi de R$ 110,51 entre o juros simples e o juros composto, mas, ao realizar esse mesmo cálculo para valores e tempo maiores (por exemplo, em um financiamento de imóvel durante 30 anos), a diferença é muito grande. 

Note que os juros compostos têm o tempo como expoente, comportando-se como uma função exponencial, o que não acontece nos juros simples, que se comporta de forma linear, ou seja, o gráfico é uma reta.

Acesse também: Funções no Enem: como esse tema é cobrado?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – O juros adquirido ao investir-se um capital de R$ 20.000 a juros compostos, de 3% a.a., durante um período de 24 meses, será de:

A) R$ 22.315

B) R$ 21.218

C) R$ 1218

D) R$ 2414

E) R$ 1310

Resolução

Alternativa C

Dados: C = 20.000

i = 3% a.a.

t = 24 meses = 2 anos (note que a taxa está em anos)

M = C (1 + i)t

M = 20.000 (1 + 0,03)2

M = 20.000 (1,03)²

M = 20.000 · 1,0609

M = 21.218

J = M – C = 21.218 – 20.000 = 1218

Questão 2 – (Fauel 2019) Um pequeno investidor decide realizar uma aplicação no Tesouro Direto, um fundo de investimento muito pouco arriscado, porém que rende mais que a poupança tradicional. Considerando-se que tal investimento rende aproximadamente 7% ao ano no regime de juros composto, quanto uma aplicação de R$ 100 renderia ao final de dois anos?

A) R$ 13,85

B) R$ 14,00

C) R$ 14,49

D) R$ 15,23

Resolução

Alternativa C

C = 100

t = 2 anos

i = 7%

M = C (1 + i)t

M = 100 (1 + 0,07)²

M = 100 (1,07)²

M = 100*1,1449

M = 114,49

Calculando o juros, temos que:

J = M – C  

J = 114,49 – 100 = 14,49

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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