Domínio, contradomínio e imagem

Domínio, contradomínio e imagem são conjuntos numéricos que apresentam os elementos definidos por uma função.

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Nessa definição, o conjunto A é chamado de domínio, o conjunto B é o contradomínio, e existe ainda um subconjunto do conjunto B chamado imagem.

Uma função determina, para todo elemento x do conjunto A, qual elemento y do conjunto B está relacionado a ele. Em outras palavras, todos os elementos do conjunto A são relacionados a algum elemento do conjunto B, e para cada elemento do conjunto A existe um único “correspondente” no conjunto B.

A forma algébrica de representar a definição da função corresponde, considerados os conjuntos A e B, à regra em que a função f é:

f: A → B
y = f(x)

Observe que essa função é denominada “f”, o que pode ser feito com qualquer letra. Os símbolos A → B indicam que cada elemento do conjunto A, aplicado na função f, tem como resultado um elemento do conjunto B. É por isso que o conjunto A é chamado de domínio. Os resultados em B serão determinados a partir dos valores de A. Por esse motivo, seja x um elemento qualquer do conjunto A, x é chamado variável independente, e seja y um elemento qualquer do conjunto B, y é a variável dependente.

Domínio

Dada a função f de A em B, definida como y = f(x) (modo como deve ser lida a simbologia usada anteriormente), já sabemos que seu domínio é o conjunto A e que um elemento qualquer de A, representado pela letra x, é chamado variável independente.

O domínio é formado por todos os elementos que “dominam” os possíveis resultados encontrados para y em uma função. Esse conjunto é chamado por esse nome porque cada um dos seus valores determina um único resultado no outro conjunto.
Exemplo:

f: N → Z
y = 2x + 1

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais, ou seja:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Portanto, esses são os valores que podem substituir a variável x na função.

Contradomínio

Dada a função f de A em B, definida como y = f(x), já sabemos que o conjunto B é chamado contradomínio. A definição de função garante que cada elemento do domínio (conjunto A) é relacionado a um único elemento do contradomínio (conjunto B). Note que a palavra “cada” garante que todos os elementos do domínio são usados em uma função, mas a expressão “um único elemento do conjunto B” não garante que todos os elementos do contradomínio serão relacionados a elementos do domínio.

Utilizando o mesmo exemplo anterior:

f: N → Z
y = 2x + 1

Note que o contradomínio dessa função é definido no conjunto dos números inteiros. Entretanto, sabemos que “2x + 1” terá como resultado apenas números ímpares. Portanto, o conjunto Z contém todos os elementos que se relacionam a elementos do domínio, não sendo necessariamente seus únicos elementos.

Imagem

O conjunto imagem é formado por todos os elementos do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio. No exemplo anterior:

f: N → Z
y = 2x + 1

Os resultados obtidos substituindo elementos do domínio na função são:

Se x = 0, y = 1

se x = 1, y = 3

se x = 2, y = 5

Isso significa que os valores de y sempre pertencem ao conjunto dos números ímpares não negativos. Portanto, a imagem dessa função é o conjunto dos números ímpares a partir de 1.

Cada um dos valores de y obtidos é chamado de imagem, assim, se x = 10, sua imagem é y = 21 na função dada como exemplo.

Conjuntos definidos nas funções: domínio, contradomínio e imagem

Conjuntos definidos nas funções: domínio, contradomínio e imagem

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Concavidade da parábola

Clique e aprenda o que é a concavidade de uma parábola e descubra como um dos coeficientes pode determinar o seu formato.

Construindo o Gráfico de uma Função

Construção de gráficos de funções matemáticas.

Demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice

Confira as expressões que podem ser usadas para determinar as coordenadas do vértice de uma parábola e aprenda o método utilizado na demonstração dessas fórmulas. Conheça ainda outra forma empregada para obter as coordenadas do vértice que é baseada na geometria plana e que também pode demonstrar essas fórmulas.

Função

Noções de funções, lei de formação.

Função Exponencial

Clique aqui e aprenda a definição e a classificação de uma função exponencial!

Função Sobrejetiva

Definindo a função sobrejetiva e suas propriedades através da análise de representações gráficas. Definição da função sobrejetiva.

Função composta

Clique e aprenda o que é uma função composta, conheça sua definição formal e obtenha exemplos do uso da composição de funções.

Função do 1º Grau

Clique aqui e aprenda a calcular e representar graficamente uma função do 1º grau.

Função do 2º grau

Clique para aprender o que é uma função do 2º grau, como representá-la com parábolas e fazer a análise de seus sinais.

Função injetora

Compreendendo a definição de uma função injetora. A compreensão de uma função injetora perpassa pelos elementos básicos da constituição de uma função: domínio, contradomínio e imagem.

Função inversa

Conheça a função inversa. Entenda a condição de existência para que uma função seja inversível. Aprenda como encontrar a lei de formação de uma função inversa.

Funções bijetoras

Clique para aprender o que é uma função injetora, regra matemática que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Gráfico da Função Exponencial

Gráfico da exponencial crescente e decrescente.

Gráfico da Função do 1º Grau

Representação gráfica de uma função do 1º grau.

Gráfico da Função do 2º Grau

Condições do gráfico de uma função do 2º grau.

Subconjuntos dos números naturais

Clique e aprenda o que são conjuntos e subconjuntos e quais são os subconjuntos mais importantes dos números naturais.

Tipo de conjuntos

Conjunto, tipos de conjunto, Representação dos tipos de conjuntos, conjunto vazio, conjunto unitário, conjunto infinito, conjunto finito, Conjuntos numéricos.