Arranjo simples

O arranjo simples é um caso de agrupamento estudado na análise combinatória. Dado um conjunto de elementos, conhecemos como arranjos simples todos os agrupamentos ordenados que podemos formar com uma determinada quantidade de elementos desse conjunto. O arranjo simples é bastante comum em problemas que envolvem filas, senhas, placas de automóveis, entre outros.

Para calcular o arranjo simples, utilizamos uma fórmula específica, que será mostrada no decorrer deste texto. O arranjo simples e a combinação simples são comumente confundidos, por serem dois casos de agrupamentos. A diferença entre eles é que, no arranjo simples, a ordem dos elementos no agrupamento é relevante; já na combinação, não.

Leia também: Análise combinatória no Enem: como esse tema é cobrado?

O que é o arranjo simples?

A escolha de senhas é um exemplo de arranjo simples.
A escolha de senhas é um exemplo de arranjo simples.

Dado um conjunto com n elementos, conhecemos como arranjo de n elementos, tomados de k em k, todos os agrupamentos ordenados que podemos formar com k elementos desse conjunto.

Exemplo:

Dado o conjunto { A, B, C, D }, vamos construir todos os arranjos desses elementos tomados de 2 em 2.

Como a ordem é importante, temos que (A, B) é diferente de (B, A). Então, os agrumamentos de dois elementos com os elementos desse conjunto são:

(A, B); (B, A); (A, C); (C, A); (A, D); (D, A); (B, C); (C, B); (B, D); (D, B); (C, D); (D, C).

Muitas vezes, mais importante que listar todos os arranjos possíveis de um conjunto é calcular a quantidade de arranjos existentes para determinadas situações. Para isso, utilizamos uma fórmula.

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Fórmula do arranjo simples

Para resolver problemas de análise combinatória, podemos recorrer ao princípio fundamental da contagem, do qual decorre a fórmula do arranjo simples.

Operações como o fatorial de um número são bastantes recorrentes para calcular a quantidade de agrupamentos. O fatorial de um número natural nada mais é do que a multiplicação desse número por todos os seus antecessores maiores que 0.

Exemplo:

3! = 3 · 2 · 1 = 6

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

De modo geral, temos que:

n! = n · ( n – 1) · (n – 2) … · 2 · 1

Tendo em vista o que é o fatorial de um número, para calcular o total de arranjos possíveis de um conjunto formado por n elementos tomados de k em k, utilizamos a seguinte fórmula:

n → quantidade de elementos no conjunto

k → quantidade de elementos em cada agrupamento

Veja também: Como calcular combinação com repetição?

Como calcular o arranjo simples

Para encontrar a quantidade de arranjos, é necessário identificar o valor de n e o valor de k e substituir na fórmula.

Exemplo 1:

Utilizando a situação anterior do conjunto {A, B, C, D}, vamos calcular o total de arranjos possíveis de 4 elementos tomados de 2 em 2.

Nesse caso, temos n = 4 e k = 2. Basta substituir na fórmula:

Isso significa que há um total de 12 arranjos possíveis em um conjunto de 4 elementos tomados de 2 em 2.

Exemplo 2:

Como meio de incentivar os estudantes a realizarem uma prova diagnóstica, uma determinada escola decidiu sortear três estudantes para serem premiados com um dia no clube, uma bola de futsal e um jogo de xadrez, respectivamente. Sabendo que 20 estudantes foram fazer a prova e que esses três alunos seriam sorteados simultaneamente, qual é a quantidade de resultados possíveis para esse sorteio?

Temos que:

n = 20

k = 3

Diferenças entre arranjo simples e combinação simples

Diante de situações que envolvem análise combinatória, o primeiro passo é diferenciar o tipo de agrupamento que a situação envolve, por isso saber diferenciar o arranjo da combinação é fundamental.

No arranjo simples, a troca de posição dos elementos gera novos agrupamentos. Por exemplo, (A, B) é um agrupamento diferente de (B, A), ou seja, no arranjo, a ordem dos elementos é importante. Na combinação simples, a troca de posição dos elementos gera o mesmo agrupamento, ou seja {A,B} é o mesmo agrupamento que {B,A}, logo, na combinação, a ordem dos elementos é irrelevante.

Problemas de análise combinatória em que escolhemos parte dos elementos de um conjunto e que envolvem senha, placa de veículo, enfim, questões que envolvem ordem de forma geral são problemas de arranjo. Agora, todas as situações em que montamos subconjuntos de um conjunto maior, como a seleção de 12 jogadores para a disputa de um campeonato, a escolha de uma combinação de roupa, enfim, situações em que a ordem não é relevante são combinações.

A fórmula do arranjo e da combinação são diferentes. Como vimos a fórmula do arranjo anteriormente, vejamos agora a fórmula da combinação simples:

Leia também: Como calcular permutações com repetição?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Devido ao grande número de invasões de contas dos usuários em um determinado site, os responsáveis pelo site fizeram uma consultoria com uma empresa especialista em segurança digital.

Entre os aspectos analisados pela consultoria, estava o formato da senha. A senha dos usuários era composta por uma sequência de 3 letras e 2 algarismos, todos distintos. Sabendo que o sistema diferencia letra maiúscula de letra minúscula, a quantidade de senhas distintas possíveis para esse site é, aproximadamente:

A) 1,9 milhão.

B) 2,6 milhões.

C) 10,5 milhões.

D) 11,9 milhões.

E) 12,8 milhões.

Resolução

Alternativa D.

Para encontrar o total de senhas possíveis para o site, vamos encontrar todos os arranjos possíveis tanto para as letras quanto para os algarismos e multiplicar as respostas.

O nosso alfabeto é composto por 26 letras. Como o sistema diferencia maiúscula de minúscula, há 52 opções. Então, calcularemos o arranjo de 52 elementos tomados de 3 em 3.

Agora encontraremos o total de arranjos possíveis para os algarismos. Sabemos que existem 10 algarismos e que serão escolhidos 2.

Por fim, multiplicando os resultados, temos que:

90 · 132.600 = 11.934.000

Aproximadamente, 11,9 milhões.

Questão 2 - Em um condomínio, são realizadas as assembleias para a tomada de decisões dos moradores pertinentes ao condomínio. As assembleias obrigatórias por lei, conhecidas como assembleias ordinárias, ocorrem em dois momentos, na prestação de contas e nas eleições. Durante as eleições, são escolhidos o síndico, o subsíndico, bem como o primeiro, segundo, terceiro e quarto conselheiro.

As eleições são organizadas da seguinte maneira:

1 – Os candidatos a síndico se manifestam, falam sobre as suas propostas e, posteriormente, é aberta uma votação. O candidato mais votado é o síndico, e o segundo mais votado, o subsíndico.

2 – Os candidatos a conselheiros se manifestam e, de acordo com a quantidade de votos, são escolhidos o primeiro, segundo, terceiro e quarto conselheiro. Cada um deles exerce funções diferentes dentro da administração.

Se em uma determinada eleição havia 8 candidatos para o conselho, a quantidade de resultados possíveis para a eleição de conselheiros é?

A) 1680
B) 1980
C) 2120
D) 2200
E) 2320

Resolução

Alternativa A.

Note que a ordem é importante, logo vamos calcular um arranjo.

Calculando o arranjo de 8 elementos tomados de 4 em 4, temos que:

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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