Combinação

Na combinação os agrupamentos são caraterizados somente pela natureza dos elementos, para isso existe uma fórmula que determina o número de combinações possíveis.

As combinações são agrupamentos que diferem entre si somente pela natureza dos elementos, diferente dos arranjos, que diferem entre si pela natureza dos elementos e pela ordem dos elementos. Vamos determinar os arranjos formados pelo agrupamento dos elementos do conjunto A = {5, 6, 7, 8}, ordenados 3 a 3.

567 568 578 678
576 586 587 687
657 658 758 768
675 685 785 786
756 856 857 867
765 865 875 876

Dentre todos os arranjos temos as seguintes combinações: 567, 568, 578 e 678. Dessa forma concluímos que duas combinações que tenham os mesmos elementos são iguais.

As combinações são muito utilizadas na elaboração de jogadas de um produto relacionado às loterias, como mega sena, quina, loto fácil, loto mania entre outros. Na mega sena o apostador escolhe a aposta simples de 6 dezenas dentre 60, e ganha acertando a quadra (4), a quina (5) ou a sena (6), que constitui o prêmio principal. No caso da quina, ao escolher a aposta simples de 5 dezenas dentre 80, ele ganha acertando o terno (3), a quadra e a quina (prêmio principal).

O número de combinações da mega sena é igual a 50.063.860, e o da quina igual a 24.040.016. Existem programas que determinam todos os números possíveis de combinação dessas loterias. Vamos através de um exemplo mais simples, mas com o mesmo sistema de criação de apostas da mega e da quina, determinar o número possível de apostas, considerando que o nosso jogo imaginário seja compreendido de 10 números, os quais devemos acertar 8.

A fórmula utilizada para determinar o número de combinações possíveis é dada pela seguinte expressão matemática:




Onde n é a quantidade total de elementos e p a quantidade de elementos agrupados. Portando, temos:

Observe todas as possíveis 45 combinações:

1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 9
1 2 3 4 5 6 7 10
1 2 3 4 5 6 8 9
1 2 3 4 5 6 8 10
1 2 3 4 5 6 9 10
1 2 3 4 5 7 8 9
1 2 3 4 5 7 8 10
1 2 3 4 5 7 9 10
1 2 3 4 5 8 9 10
1 2 3 4 6 7 8 9
1 2 3 4 6 7 8 10
1 2 3 4 6 7 9 10
1 2 3 4 6 8 9 10
1 2 3 4 7 8 9 10
1 2 3 5 6 7 8 9
1 2 3 5 6 7 8 10
1 2 3 5 6 7 9 10
1 2 3 5 6 8 9 10
1 2 3 5 7 8 9 10
1 2 3 6 7 8 9 10
1 2 4 5 6 7 8 9
1 2 4 5 6 7 8 10
1 2 4 5 6 7 9 10
1 2 4 5 6 8 9 10
1 2 4 5 7 8 9 10
1 2 4 6 7 8 9 10
1 2 5 6 7 8 9 10
1 3 4 5 6 7 8 9
1 3 4 5 6 7 8 10
1 3 4 5 6 7 9 10
1 3 4 5 6 8 9 10
1 3 4 5 7 8 9 10
1 3 4 6 7 8 9 10
1 3 5 6 7 8 9 10
1 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 10
2 3 4 5 6 7 9 10
2 3 4 5 6 8 9 10
2 3 4 5 7 8 9 10
2 3 4 6 7 8 9 10
2 3 5 6 7 8 9 10
2 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9 10

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Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Combinação de um cadeado

Combinação de um cadeado

Por: Marcos Noé

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