Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem é conhecido também como princípio multiplicativo. Ele é a base para resolver problemas envolvendo análise combinatória.

A análise combinatória é a área da matemática que analisa a quantidade de agrupamentos possíveis para determinadas situações, e o princípio fundamental da contagem é um meio para calcular o total de combinações possíveis. Na prática, ele mostra que se uma decisão pode ser tomada de m maneiras, e outra decisão pode ser tomada de n maneiras, sendo essas decisões independentes, então, o número de maneiras que essas duas decisões podem ser tomadas é calculado pelo produto m · n.

Leia também: Análise combinatória no Enem: como esse tema é cobrado?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre o princípio fundamental da contagem
• 2 - O que é princípio fundamental da contagem?
  • Videoaula de como resolver questões de análise combinatória no Enem
• 3 - Usos do princípio fundamental da contagem
• 4 - Exercícios resolvidos sobre princípio fundamental da contagem

Resumo sobre o princípio fundamental da contagem

• Diz que, se uma decisão pode ser tomada de m maneiras e outra de n maneiras, a quantidade de maneiras que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente é o produto m · n.

• É utilizado para resolver problemas envolvendo análise combinatória.

• É conhecido também como princípio multiplicativo.

O que é princípio fundamental da contagem?

Você já se perguntou quantas senhas podemos construir utilizando 4 números? Quantas placas de automóveis é possível registrar? De quantas maneiras diferentes os números da loteria podem ser sorteados?

Essas e muitas outras perguntas envolvendo contagem são respondidas com o princípio fundamental da contagem ou o princípio multiplicativo, ou seja, o princípio multiplicativo é utilizado para resolver problemas envolvendo contagem.

O princípio fundamental diz que se as decisões d₁, d₂, … d_n podem ser tomadas, respectivamente, de m₁, m₂, … m_n maneiras, então, o número de maneiras que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente é dado por: m₁ · m₂ · … · m_n.

Exemplo 1:

Matheus foi até a concessionária para comprar o seu tão sonhado carro zero. Chegando à loja, ele encontrou 3 carros que cabiam no seu orçamento. Todos os 3 eram vendidos com 2 opções de câmbio, manual ou automático. Além da escolha do veículo e do tipo e câmbio, há 4 opções de cor, branco, preto, prata ou vermelho. De quantas maneiras distintas Matheus pode tomar essa decisão?

Podemos construir um esquema para contar a quantidade de opções possíveis. Sabemos que serão tomadas três decisões: a escolha entre o carro A, B ou C, a escolha do tipo de câmbio, manual ou automático, e a cor do veículo, branco, preto, prata ou vermelho.

Se contarmos a quantidade total de combinações possíveis, veremos que há 24 possibilidades.

Acontece que construir um esquema como esse para encontrar o total de combinações possíveis pode ser bastante trabalhoso, ainda mais quando aumentamos as decisões a serem tomadas e o número de maneiras que essas decisões podem ser tomadas. Por isso, é interessante utilizar o princípio fundamental da contagem.

A primeira decisão, que é sobre o modelo do carro, tem 3 possibilidades; a segunda decisão, que é sobre o tipo de câmbio, pode ser tomada de 2 maneiras; e, por fim, a quantidade de cores possíveis é 4. Para calcular o número de possibilidades, basta realizar o produto:

3 · 2 · 4 = 24 possibilidades.

Exemplo 2:

Aproveitando o Dia das Mulheres, que tem grande potencial de vendas de cosméticos, a vendedora decidiu montar um kit beleza que contém 3 batons distintos, 2 sombras distintas e 1 delineador. Sabendo que, na loja, as opções de batons são: rosa, vermelho, marrom, nude e laranja; as opções de sombra são: azul, marrom e bege; e as opções de delineador são: preto ou branco. De quantas maneiras distintas esse kit pode ser montado?

O kit de beleza possui:

• 3 batons distintos

• 2 sombras distintas

• 1 delineador

A primeira decisão é escolher 3 batons entre as 5 opções possíveis. Como os batons precisam ser distintos, temos que:

O primeiro batom será escolhido entre as 5 opções. Como escolhemos um deles, e o segundo não pode ter a mesma cor que o primeiro, teremos então 4 opções para o segundo batom e 3 opções para o terceiro.

Escolhas possíveis para o batom são dadas por: 5 · 4 · 3.

Escolheremos também 2 sombras distintas entre 3 opções de cores. Usando o mesmo raciocínio para o batom, a primeira sombra pode ser escolhida de 3 maneiras, e a segunda, de 2 maneiras.

Escolhas possíveis para a sombra: 3 · 2.

Por fim, escolheremos 1 delineador entre 2 possíveis, logo, há 2 opções.

Agora multiplicaremos o total de possibilidades para cada uma das decisões:

5 · 4 · 3 · 3 · 2 · 2 = 720

• Videoaula de como resolver questões de análise combinatória no Enem

Usos do princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem tem várias aplicações, pois existem vários problemas que envolvem contagem, como encontrar a quantidade de senhas existentes em determinado sistema, resolver problemas envolvendo probabilidade, resolver problemas envolvendo filas e anagramas etc.

O princípio fundamental da contagem é base para o estudo da análise combinatória, e todas as fórmulas para calcular a quantidade de agrupamentos possíveis vêm do princípio fundamental da contagem, como as fórmulas da combinação, do arranjo e da permutação.

Veja também: Probabilidade no Enem: como esse tema é cobrado?

Exercícios resolvidos sobre princípio fundamental da contagem

Questão 1 - (Enem 2020) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @.

O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.

Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.

De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?

A) 59

B) 60

C) 118

D) 119

E) 120

Resolução

Alternativa D

O nome “Eduardo” possui 7 letras. Queremos todos os anagramas possíveis em que “edu” permaneça junto, nessa ordem, então, consideraremos que há 5 elementos possíveis {edu, a, r, d, o} para escolher os caracteres da senha. Assim, escolheremos os 1º, 2º, 3º, 4º e 5º termos da sequência.

1º termo → 5 possibilidades

2º termo → 4 possibilidades

3º termo → 3 possibilidades

4º termo → 2 possibilidades

5º termo → 1 possibilidade

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Vale lembrar que o nome “Eduardo” não pode ser considerado, pois o e-mail com essa combinação já foi escolhido, então, há um total de 120 – 1 = 119 possibilidades de e-mail.

Questão 2 - (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Resolução

Alternativa A

Para encontrar a quantidade de respostas possíveis, basta aplicar o princípio fundamental da contagem. Há 5 objetos, 6 personagens e 9 cômodos, então, para achar o total de combinações possíveis:

5 · 6 · 9 = 270 possibilidades.

Como são 280 estudantes, há 10 alunos a mais do que possíveis respostas.