Permutações

Método antigo de contagem
Método antigo de contagem

O conceito de permutar e de fatorar estão bem relacionados. Quando falamos de permutação já ligamos este pensamento à mistura dos elementos, troca de posições. Quando desejamos permutar alguns elementos, o faremos de forma completa, encontrando todas as posições possíveis de arranjar tais elementos.

Quando calculamos uma permutação, estamos calculando todas as possibilidades que existem para organizar os elementos de um determinado conjunto.

Vejamos um exemplo:

De quantas maneiras diferentes podemos organizar um número com 4 algarismos (sem repeti-los) utilizando os algarismos 6,7,8,9?

Veja que há 4 possibilidades para dispor os números e 4 números para organizar. Com isso, podemos afirmar que estaremos utilizando todos os elementos disponíveis.

De tal modo, teremos 4 possibilidades para o primeiro algarismo do número, 3 possibilidades para o segundo algarismo, 2 possibilidades para o terceiro e 1 possibilidade para o quarto.

Ao multiplicarmos estas possibilidades, obteremos a seguinte expressão:

4*3*2*1=4! 
(Este resultado nos dará a quantidade de possibilidades que temos para formar um número com 4 algarismos utilizando os números 6,7,8,9.)

Esta também é a definição de permutação que, por sua vez, é dada da seguinte forma:

Tem-se n elementos para permutá-los entre si. Com isso, a permutação destes n elementos distintos, é dada por:


Expressão da Permutação

Exemplo: Determine o número de anagramas formados a partir da palavra ESCOLA.

Note que não temos nenhuma letra repetida, afinal, na permutação todos os elementos do conjunto devem ser distintos.

Com isso, o conjunto a ser permutado é o seguinte: {E,S,C,O,L,A}. 6 elementos que devem ser permutados entre si.

 

Permutação dos anagramas

Vale ressaltar que a permutação é um caso particular do Arranjo, veja por que:

 

Arranjo simples

Quando analisamos o arranjo simples, no qual temos n elementos para combinar e, destes n elementos, pegamos todos eles, teremos justamente o caso da permutação.

Uma forma diferente na qual os problemas matemáticos podem aparecer é quando a quantidade de possibilidades de permutar os elementos é conhecida e se busca descobrir quantos elementos foram permutados, ou seja, trata-se de uma equação envolvendo permutação.

Exemplo:

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Equação do exemplo

Temos que encontrar o número cujo fatorial seja igual a 24. Uma forma prática (sem que seja necessário encontrá-lo por meio da sorte) é utilizar a fatoração do número 24 e depois escrever este número na forma de produto.

24=2*3*4   (Este produto te lembra algum número fatorial?)

 

 

Veja:

4!=4*3*2*1

Na fatoração do 24 não apareceu o número 1, entretanto sabemos que ao multiplicarmos por 1 não alteraremos em nada a igualdade, portanto podemos escrever o 24 da seguinte forma:

24=4*3*2*1=4!

Dessa maneira, temos que 4!=24, ou seja, o número de elementos permutados é 4.

Entretanto, existem outros exemplos que recaem em equações do segundo grau, vejamos um exemplo:


Equação do exemplo

Temos que simplificar esta divisão:

Ao resolvermos esta equação, encontraremos o seguinte conjunto solução: S={-22,23}. Não é possível ter uma quantidade de elementos negativa, ou seja, a quantidade de elementos que satisfaz a igualdade inicial é quando n=23.

Lembre-se que antes de procurar expressões para aplicar em um problema matemático envolvendo análise combinatória, você deve compreender o que se pede neste problema, o que você deve responder e o que ocorre nas combinações dos elementos, para que assim você utilize a expressão correta para a resolução do problema.


Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Por: Gabriel Alessandro de Oliveira

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