Permutações com repetição

Exclamação, na matemática, representa a fatoração.
Exclamação, na matemática, representa a fatoração.

A restrição principal para as permutações simples é quanto aos elementos que serão permutados, pois é necessário que estes sejam distintos, ou seja, que não se repitam. Entretanto, nem sempre conseguiremos situações nas quais os elementos serão todos distintos. Para isso, deu-se início aos estudos desses casos com repetição.

Algo que é notado quando temos elementos repetidos é que a permutação destes elementos não irá gerar novas possibilidades de mudanças, afinal os elementos são iguais. Para isso, veremos uma expressão especial para ser usada quando temos elementos repetidos.

Por hora, veremos como ocorre a permutação quando apenas um dos elementos do conjunto se repete.

Vejamos um exemplo para proporcionar uma melhor compreensão.

Quantos são os anagramas da palavra OURO?

Note que temos dois elementos repetidos (letra O).

Caso fôssemos permutar normalmente estes elementos, teríamos uma permutação de 4 elementos. Mas veja o que ocorre.



Temos o conjunto de letras R e U para combinar em quatro posições diferentes dessa palavra. Como temos letras repetidas, a permutação delas não gera novas combinações, afinal são elementos iguais.

Sendo assim, a combinação das letras R, U ocorrerá da seguinte forma:



Entretanto, devemos permutar as duas palavras, pois estas geram combinações diferentes.

Sendo assim, teremos: 



Note que o 4! representa a permutação de todos os elementos e o 2! representa a permutação da quantidade de elementos repetidos.

Confira outros exemplos de permutações com um elemento repetido:

1) Quantos são os anagramas da palavra MORANGO?
Temos 2 letras repetidas.




2) E com a palavra VENEZUELA?

Veja que o E é repetido 3 vezes. Temos um total de 9 letras, sendo assim, a quantidade de anagramas será dada através da expressão da permutação com repetição de um elemento.

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Por: Gabriel Alessandro de Oliveira

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