Decomposição em fatores primos

A decomposição em fatores primos é um processo pelo qual escrevemos números compostos na forma de um produto em que todos os fatores são números primos.

Decomposição em fatores primos: escrever números compostos como multiplicação de números primos
Decomposição em fatores primos: escrever números compostos como multiplicação de números primos

A decomposição em fatores primos é o nome dado ao processo de escrever um número composto na forma de produto entre números primos. Isso é possível para todo número composto, mas, para compreender esse procedimento, é bom conhecer bem o conjunto dos números primos e dos números compostos.

Tópicos deste artigo

Números primos e compostos

Em todo conjunto numérico, podem ser encontrados infinitos subconjuntos. O conjunto dos números naturais pode ser dividido, entre outros, entre números primos e compostos. Esses dois subconjuntos são complementares, ou seja, se um número é primo, ele não é complementar. Se ele é complementar, não é primo. Se o número é natural, ou é primo ou é complementar.

O conjunto dos números primos é formado por todos os números que são divisíveis apenas por si mesmo e por 1. O conjunto dos números compostos é formado por todos os naturais que não são primos, ou seja, que são divisíveis por, pelo menos, um número diferente de si mesmo e de 1.

Assim, o conjunto dos números primos é infinito e é formado pelos seguintes elementos:

P = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, …}

O conjunto dos números compostos é infinito e é formado pelos elementos a seguir:

C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …}

Teorema fundamental da aritmética

O teorema fundamental da aritmética é a propriedade que divide o conjunto dos números naturais em primos ou compostos:

“Todo número natural maior que 1

ou é primo ou pode ser escrito como produto

em que todos os fatores são primos”.

Exemplo: O número 19 é primo. Já o número 20 pode ser escrito como produto de fatores primos: 20 = 2·2·5 ou 22·5.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Observe que o número 1 não é considerado primo, embora se enquadre nessa definição. Isso acontece por causa de outra propriedade dos números compostos: sua decomposição em fatores primos é única. Por exemplo, o número 20 = 22·5. Se o número 1 for considerado primo, existirão infinitas maneiras de escrever essa decomposição:

20 = 1·22·5

20 = 12·22·5

Note também que o único número primo par existente é o número 2. O restante dos números pares é obrigatoriamente divisível por 2.

Técnica para decomposição em fatores primos

Não é necessário encontrar os fatores primos que fazem parte da decomposição (também chamada de fatoração) dos números compostos ao acaso. É possível usar algumas técnicas para encontrar essa decomposição.

Exemplo: para decompor o número 1600, faremos o mesmo procedimento usado para encontrar o mínimo múltiplo comum entre dois números. A única diferença é que, ao final, não multiplicaremos os fatores encontrados. Lembre-se de que é preciso realizar divisões sempre pelo menor número primo possível. Observe:

1600 | 2
800 | 2
400 | 2
200 | 2

100 | 2
50 | 2
25 | 5
5 | 5
    1

A decomposição em fatores primos de 1600 é o produto entre os números obtidos do lado direito dessa cadeia de divisões:

2·2·2·2·2·2·5·5

Isso também pode ser escrito na forma de potência:

26·52

Observe que não devemos efetuar a multiplicação, mas sim escrever o produto dos fatores primos.



Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Conjunto dos irracionais

Números, Conjunto numéricos, Conjunto dos racionais, Conjunto dos irracionais, Número irracionais, Conjunto dos inteiros, Conjunto dos naturais, Dízimas periódicas, Casas decimais, Parte inteira.

Divisibilidade: múltiplos e divisores

Divisão, divisibilidade, o que é divisibilidade, definição de múltiplos, definição de divisores, múltiplos, divisores, conjuntos dos múltiplos, conjunto dos divisores, números naturais.

Fração geratriz

Clique aqui e saiba como encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica. Conheça o método prático da geratriz de dízimas simples e compostas.

MDC (máximo divisor comum)

Descubra o que é o MDC, como é calculado e quais suas propriedades. Conheça também as diferenças entre MDC e MMC!

Média geométrica

Saiba o que é a média geométrica e quando usá-la adequadamente. Conheça a fórmula dessa média pitagórica e observe alguns exemplos para melhor compreensão.

Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum

mínimo múltiplo comum, mmc, máximo divisor comum, mdc, múltiplo, divisor, como calcular múltiplos, como calcular divisores, calcular o mmc, calcular mdc, cálculo do mínimo múltiplo comum, cálculo do máximo divisor comum.

Números naturais

Conheça os números naturais, entenda o que é um antecessor e um sucessor de um número, bem como quais são os subconjuntos desse conjunto numérico.

Números primos

Entenda o que é um número primo. Aprenda a identificar números primos pelo crivo de Eratóstenes. Encontre a decomposição em fatores primos de um número.

Números racionais

Clique aqui e saiba quais são os números racionais. Descubra como realizar operações com esses números.

Propriedades da Potenciação

Operação entre Potências.

Regras de Divisibilidade

Divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

Subconjuntos dos números naturais

Clique e aprenda o que são conjuntos e subconjuntos e quais são os subconjuntos mais importantes dos números naturais.

Tipo de conjuntos

Conjunto, tipos de conjunto, Representação dos tipos de conjuntos, conjunto vazio, conjunto unitário, conjunto infinito, conjunto finito, Conjuntos numéricos.