Calota esférica

A calota esférica é um sólido geométrico resultante da interseção de uma esfera por um plano, dividindo-a em dois sólidos distintos. Assim como a esfera, a calota esférica apresenta uma forma arredondada, sendo, portanto, um corpo redondo.

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Resumo sobre calota esférica

• A calota esférica é um objeto tridimensional que se forma quando uma esfera é cortada por um plano.

• No caso em que o plano divide a esfera ao meio, as calotas esféricas são denominadas hemisférios.

• Seus elementos são a altura da calota esférica, o raio da esfera e o raio da calota esférica.

• Com o teorema de Pitágoras, é possível obter uma relação entre a altura da calota esférica, o raio da esfera e o raio da calota esférica:

\(r^2+(R-h)^2=R^2\)

• A área da calota esférica é dada pela fórmula:

\(A=2πrh \)

• Para calcular o volume da calota, a fórmula é:

\(V=\frac{πh^2}3⋅(3r-h)\)

• Diferentemente de um poliedro, que possui faces formadas por polígonos, a calota esférica tem sua base formada por um círculo, e por isso é um corpo redondo.

O que é calota esférica?

Também chamada de calota de uma esfera, a calota esférica é a parte da esfera obtida quando essa figura é interceptada por um plano. Quando interceptamos a esfera por um plano, ela é dividida em duas calotas esféricas. Então a calota esférica possui uma base circular e uma superfície arredondada, motivo pelo qual ela é um corpo redondo.

Importante: Ao dividir a esfera ao meio, formamos dois hemisférios.

Elementos da calota esférica

Para calcular área e volume envolvendo a calota esférica, existem três medidas importantes, são elas: o comprimento do raio da calota esférica, o comprimento do raio da esfera e, por fim, a altura da calota esférica.

• h → altura da calota esférica

• R → raio da esfera

• r → raio da calota esférica

Como calcular o raio da calota esférica?

Ao analisar os elementos da calota esférica, é possível utilizar o teorema de Pitágoras para obter uma relação entre a altura da calota esférica, o raio da esfera e o raio da calota esférica.

Note que, no triângulo retângulo, temos que:

\(r^2+(R-h)^2=R^2\)

Exemplo:

Uma calota esférica possui altura medindo 4 cm. Se essa esfera possui raio medindo 10 cm, qual será a medida da calota esférica?

Resolução:

Sabemos que h = 4 e que R = 10, então temos que:

\(r^2+(10-4)^2=100\)

\(r^2+6^2=100\)

\(r^2+36=100\)

\(r^2=100-36\)

\(r^2=64\)

\(r=\sqrt{64}\)

\(r=8\ cm\)

Então a medida do raio da calota esférica é de 8 cm.

Como se calcula a área da calota esférica?

Conhecendo a medida do raio da esfera e da altura da calota esférica, a área da calota esférica é calculada pela fórmula:

\(A=2πRh \)

• R → raio da esfera

• h → altura da calota esférica

Exemplo:

Uma esfera possui raio medindo 12 cm e a calota esférica possui altura igual a 8 cm. Qual é a área da calota esférica? (Use π = 3,1)

Resolução:

Calculando a área, temos que:

\(A=2πRh \)

\(A=2⋅3,1⋅12⋅8\)

\(A=6,1⋅96\)

\(A=585,6\ cm^2\)

Como se calcula o volume da calota esférica?

Existem duas fórmulas diferentes para se calcular o volume de uma calota esférica. Uma das fórmulas depende da medida do raio da calota esférica e da sua altura:

\(V=\frac{πh}6 (3r^2+h^2 )\)

• r → raio da calota esférica

• h → altura da calota esférica

A outra fórmula utiliza o raio da esfera e a altura da calota esférica:

\(V=\frac{πh^2}3 (3R-h)\)

• R → raio da esfera

• h → altura da calota esférica

Importante: A fórmula que utilizaremos para calcular o volume da calota esférica depende dos dados que temos sobre a calota esférica.

Exemplo 1:

Uma calota esférica possui 12 cm de altura e o seu raio medindo 8 cm. Qual o volume dessa calota esférica?

Resolução:

Como conhecemos r = 8 cm e h = 12 cm, utilizaremos a fórmula:

\(V=\frac{πh}6 (3r^2+h^2 )\)

\(V=\frac{π\cdot 12}6 (3\cdot 8^2+12^2 )\)

\(V=2π(3⋅64+144)\)

\(V=2π(192+144)\)

\(V=2π⋅336\)

\(V=672π\ cm^3\)

Exemplo 2:

De uma esfera com raio medindo 5 cm, foi construída uma calota esférica com 3 cm de altura. Qual o volume dessa calota esférica?

Resolução:

Nesse caso, temos R = 5 cm e h = 3 cm, logo, utilizaremos a fórmula:

\(V=\frac{πh^2}3 (3R-h)\)

Substituindo os valores conhecidos:

\(V=\frac{π\cdot 3^2}3 (3\cdot 5-3)\)

\(V=\frac{9π}3 (15-3)\)

\(V=3π⋅12\)

\(V=36π\ cm^3\)

Veja também: Como calcular o volume de um tronco de cone?

Calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?

A calota esférica é considerada um corpo redondo ou um sólido de revolução porque ela possui uma base circular e uma superfície arredondada. É importante ressaltar que, diferentemente de um poliedro, que possui faces formadas por polígonos, a calota esférica tem sua base formada por um círculo.

Calota esférica, fuso esférico e cunha esférica

• Calota esférica: é a parte de uma esfera cortada por um plano, como na imagem a seguir:

• Fuso esférico: é parte da superfície de uma esfera formada pela rotação de uma semicircunferência em determinado ângulo, como na imagem a seguir:

• Cunha esférica: é um sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo, como na imagem a seguir:

Exercícios resolvidos sobre calota esférica

Questão 1

Qual alternativa melhor define a calota esférica:

A) É quando dividimos a esfera ao meio por um plano, sendo também conhecida como hemisfério.

B) É um corpo redondo que possui base circular e superfície arredondada.

C) É um poliedro com faces formadas por círculos.

D) É um sólido geométrico obtido quando rotacionamos uma semicircunferência

Resolução:

Alternativa B

A calota esférica é um corpo redondo que possui base circular e superfície arredondada.

Questão 2

De uma esfera de raio medindo 6 metros, formou-se uma calota esférica com 2 metros de altura. Utilizando 3,14 como aproximação de π, a medida da área dessa calota esférica é:

A) 13,14 cm³

B) 22,84 cm³

C) 37,68 cm³

D) 75,38 cm³

E) 150,72 cm³

Resolução:

Alternativa D

Calculando a área da calota esférica:

\(A=2πRh\)

\(A=2⋅3,14⋅6 ⋅2\)

\(A=6,28⋅12 \)

\(A=75,38\ m^3\)

Fonte

DANTE, Luiz Roberto, Matemática, volume único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005.