Matriz Inversa

Uma matriz inversa é aquela que, ao ser multiplicada por determinada matriz, resulta sempre na matriz identidade.

Quando estudamos matrizes, deparamo-nos com muitos nomes e classificações para diversos tipos delas, no entanto, não podemos confundi-las! Dois tipos que geralmente costumam causar confusão são as matrizes transpostas e as matrizes inversas.

A transposta de uma determinada matriz é a inversão feita entre suas linhas e colunas, o que é bem diferente de uma matriz inversa. Mas antes de falarmos em detalhes sobre a matriz inversa, vamos relembrar outra matriz muito importante: a identidade!

Uma matriz identidade (In) possui a mesma quantidade de linhas e colunas. Sua diagonal principal é composta apenas por números “1” e seus demais elementos são “zeros”, como é o caso da seguinte matriz identidade de ordem 3:

Matriz Identidade de ordem 3x3
Matriz Identidade de ordem 3x3

Voltemos agora ao nosso assunto anterior: a matriz inversa. Considere uma matriz quadrada A. Uma matriz A-1 é inversa à matriz A se, e somente se, A.A-1 = A-1.A = In. Mas nem toda matriz possui uma inversa, por isso dizemos que essa matriz é não inversível ou singular.

Vejamos como encontrar a inversa de uma matriz A de ordem 2. Como nós não conhecemos os elementos de A-1, vamos identificá-los pelas incógnitas x, y, z e w. Primeiramente multiplicamos as matrizes A e A-1, e seu resultado deve ser uma matriz identidade:

A . A-1 = In

Encontrando A-1, a matriz inversa de A
Encontrando A-1, a matriz inversa de A

Feito o produto entre A e A-1 e igualando à matriz identidade de ordem 2, conseguimos formar dois sistemas. Resolvendo o primeiro sistema por substituição, temos:

1ª equação: x + 2z = 1 ↔ x = 1 – 2z

Substituindo x = 1 – 2z na segunda equação, temos:

2ª equação: 3x + 4z = 0

3.(1 – 2z) + 4z = 0

3 – 6z + 4z = 0

2z = – 3

(– 1). (– 2z) = – 3 . (– 1)

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z = 3/2

Encontrado o valor de z = 3/2, vamos substituí-lo em x = 1 – 2z para determinar o valor de x:

x = 1 – 2z

x = 1 – 2.
              2

x = 1 – 3

x = – 2

Vamos agora resolver o segundo sistema, também pelo método da substituição:

1ª equação: y + 2w = 0 ↔ y = – 2w

Substituindo y = – 2w na 2ª equação:

2ª equação: 3y + 4w = 1

3.(– 2w) + 4w = 1

6w + 4w = 1

2w = 1

w = – 1/2

Agora que temos w = – 1/2, vamos substituí-lo em y = – 2w para encontrar y:

y = – 2w

y = – 2.( – 1)
              
2

y = 1

Agora que temos todos os elementos de A-1, podemos facilmente constatar que A.A-1 = In e A-1.A = In:

Fazendo as multiplicações de A por A-1 e A-1 por A, verificamos que obtemos a matriz identidade em ambos os casos
Fazendo as multiplicações de A por A-1 e A-1 por A, verificamos que obtemos a matriz identidade em ambos os casos

Propriedades das matrizes inversas:

1°) A inversa de uma matriz é sempre única!

2º) Se a matriz é inversível, a inversa de sua inversa é a própria matriz.

(A-1)-1 = A

3º) A transposta de uma matriz inversa é igual à inversa da matriz transposta.

(A-1)t = (At)-1

4°) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, então a inversa de seu produto é igual ao produto de suas inversas com a ordem trocada:

(A.B)-1 = B-1.A-1

5º) A matriz nula (todos os elementos são zeros) não admite inversa.

6°) A matriz unidade (que só possui um elemento) é sempre inversível e é igual à sua inversa:

A = A-1





Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Aprenda o que é matriz inversa e suas propriedades

Aprenda o que é matriz inversa e suas propriedades

Por: Amanda Gonçalves Ribeiro

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