Quando estudamos matrizes, deparamo-nos com muitos nomes e classificações para diversos tipos delas, no entanto, não podemos confundi-las! Dois tipos que geralmente costumam causar confusão são as matrizes transpostas e as matrizes inversas.
A transposta de uma determinada matriz é a inversão feita entre suas linhas e colunas, o que é bem diferente de uma matriz inversa. Mas antes de falarmos em detalhes sobre a matriz inversa, vamos relembrar outra matriz muito importante: a identidade!
Uma matriz identidade (In) possui a mesma quantidade de linhas e colunas. Sua diagonal principal é composta apenas por números “1” e seus demais elementos são “zeros”, como é o caso da seguinte matriz identidade de ordem 3:
Matriz Identidade de ordem 3x3
Voltemos agora ao nosso assunto anterior: a matriz inversa. Considere uma matriz quadrada A. Uma matriz A-1 é inversa à matriz A se, e somente se, A.A-1 = A-1.A = In. Mas nem toda matriz possui uma inversa, por isso dizemos que essa matriz é não inversível ou singular.
Vejamos como encontrar a inversa de uma matriz A de ordem 2. Como nós não conhecemos os elementos de A-1, vamos identificá-los pelas incógnitas x, y, z e w. Primeiramente multiplicamos as matrizes A e A-1, e seu resultado deve ser uma matriz identidade:
A . A-1 = In
Encontrando A-1, a matriz inversa de A
Feito o produto entre A e A-1 e igualando à matriz identidade de ordem 2, conseguimos formar dois sistemas. Resolvendo o primeiro sistema por substituição, temos:
1ª equação: x + 2z = 1 ↔ x = 1 – 2z
Substituindo x = 1 – 2z na segunda equação, temos:
2ª equação: 3x + 4z = 0
3.(1 – 2z) + 4z = 0
3 – 6z + 4z = 0
– 2z = – 3
(– 1). (– 2z) = – 3 . (– 1)
z = 3/2
Encontrado o valor de z = 3/2, vamos substituí-lo em x = 1 – 2z para determinar o valor de x:
x = 1 – 2z
x = 1 – 2. 3
2
x = 1 – 3
x = – 2
Vamos agora resolver o segundo sistema, também pelo método da substituição:
1ª equação: y + 2w = 0 ↔ y = – 2w
Substituindo y = – 2w na 2ª equação:
2ª equação: 3y + 4w = 1
3.(– 2w) + 4w = 1
– 6w + 4w = 1
– 2w = 1
w = – 1/2
Agora que temos w = – 1/2, vamos substituí-lo em y = – 2w para encontrar y:
y = – 2w
y = – 2.( – 1)
2
y = 1
Agora que temos todos os elementos de A-1, podemos facilmente constatar que A.A-1 = In e A-1.A = In:
Fazendo as multiplicações de A por A-1 e A-1 por A, verificamos que obtemos a matriz identidade em ambos os casos
Propriedades das matrizes inversas:
1°) A inversa de uma matriz é sempre única!
2º) Se a matriz é inversível, a inversa de sua inversa é a própria matriz.
(A-1)-1 = A
3º) A transposta de uma matriz inversa é igual à inversa da matriz transposta.
(A-1)t = (At)-1
4°) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, então a inversa de seu produto é igual ao produto de suas inversas com a ordem trocada:
(A.B)-1 = B-1.A-1
5º) A matriz nula (todos os elementos são zeros) não admite inversa.
6°) A matriz unidade (que só possui um elemento) é sempre inversível e é igual à sua inversa:
A = A-1
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:
