Menor complementar

O menor complementar é um número associado a cada um dos elementos da matriz. Ele é utilizado para encontrar o cofator de um termo da matriz.

O menor complementar é um valor associado a cada termo da matriz.
O menor complementar é um valor associado a cada termo da matriz.

O menor complementar é o número associado a cada termo de uma matriz, sendo muito utilizado no estudo desta. Se trata de um número encontrado na matriz que nos auxilia no cálculo do cofator de um determinando elemento da matriz. O cálculo do menor complementar e do cofator é útil para encontrar a matriz inversa ou para calcular o determinante de matrizes, de ordem 3 ou superior, dentre outras aplicações. 

Para realizar o cálculo do menor complementar Dij, associado ao termo aij, eliminamos a linha i e a coluna j e calculamos o determinante dessa nova matriz. Para calcular o cofator Cij, conhecendo o valor do seu menor complementar, temos que Cij = (-1)i+j Dij.

Leia também: Quais são as propriedades dos determinantes das matrizes?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre menor complementar

  • O menor complementar associado ao termo aij de uma matriz é representado por Dij.

  • O menor complementar é utilizado para calcular o cofator associado a um termo da matriz.

  • Para encontrar o menor complementar de aij, removemos a linha i e a coluna j da matriz e calculamos o seu determinante.

  • O cofator Cij de um termo é calculado pela fórmula Cij = (-1)i+j Dij.

Como calcular o menor complementar de um termo da matriz?

O menor complementar é o número associado a cada termo de uma matriz, ou seja, cada termo da matriz possui um menor complementar. É possível calcular o menor complementar para matrizes quadradas, ou seja, que possuem o mesmo número de linhas e colunas, de ordem 2 ou maiores. O menor complementar do termo aij é representado por Dij e para encontrá-lo, é necessário calcular o determinante da matriz gerada quando eliminamos a coluna i e a linha j.

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Exemplos de cálculo do menor complementar de um termo da matriz

Os exemplos abaixo são de cálculo do menor complementar de uma matriz de ordem 2 e do menor complementar de uma matriz de ordem 3, respectivamente.

  • Exemplo 1

Considere a seguinte matriz:

\(A=\left[\begin{matrix}4&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\)

Calcule o menor complementar associado ao termo a21.

Resolução:

Para calcular o menor complementar associado ao termo a21, eliminaremos a 2ª linha e a 1ª coluna da matriz:

\(A=\left[\begin{matrix}4&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\)

Note que restou somente a seguinte matriz:

\(\left[5\right]\)

O determinante dessa matriz é igual a 5. Assim, o menor complementar do termo a21 é

D21 = 5

Observação: É possível encontrar o cofator de qualquer um dos outros termos dessa matriz.

  • Exemplo 2:

Dada a matriz B

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\),

encontre o menor complementar do termo b32.

Resolução:

Para encontrar o menor complementar D32, eliminaremos a linha 3 e coluna 2 da matriz B:

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\)

Eliminando os termos em destaque, restará a matriz:

\(\left[\begin{matrix}3&10\\1&5\\\end{matrix}\right]\)

Calculando o determinante dessa matriz, temos:

\(D_{32}=3\cdot5-10\cdot1\)

\(D_{32}=15-10\)

\(D_{32}=15-10\)

O menor complementar associado ao termo b32 é, portanto, igual a 5.

Saiba também: Matriz triangular — aquela em que elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos

Menor complementar e cofator

O cofator também é um número que está associado a cada elemento da matriz. Para encontrar o cofator, é necessário antes calcular o menor complementar. O cofator do termo aij é representado por Cij e calculado por:

\(C_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}D_{ij}\)

Sendo assim, é possível perceber que o cofator é igual ao menor complementar em valor absoluto. Caso a soma i + j seja par, o cofator será igual ao menor complementar. Se a soma i + j for igual a um número ímpar, o cofator será o inverso do menor complementar.

Exemplo de cálculo de cofator de um termo da matriz

Considere a seguinte matriz:

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\)

Calcule o cofator do termo b23.

Resolução:

Para calcular o cofator b23, primeiramente calcularemos o menor complementar d23. Para isso, eliminaremos a segunda linha e terceira coluna da matriz:

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\)

Ao eliminar os termos destacados, encontraremos a matriz:

\(\left[\begin{matrix}3&8\\0&4\\\end{matrix}\right]\)

Calculando seu determinante, para encontrar o menor complementar d23, temos que:

\(D_{23}=3\cdot4-0\cdot8\)

\(D_{23}=12-0\)

\(D_{23}=12\)

Agora que temos o menor complementar, calcularemos o cofator C23:

\(C_{23}=\left(-1\right)^{2+3}D_{23}\)

\(C_{23}=\left(-1\right)^5\cdot12\)

\(C_{23}=-1\cdot12\)

\(C_{23}=-12\)

Então, o cofator do termo b23 é igual a –12.

Veja também: Cofator e teorema de Laplace — quando usá-los?

Exercícios resolvidos sobre menor complementar

Questão 1

(CPCON) A soma dos cofatores dos elementos da diagonal secundária da matriz é:

\(\left[\begin{matrix}3&2&5\\0&-4&-1\\-2&4&1\\\end{matrix}\right]\)

A) 36

B) 23

C) 1

D) 0

E) – 36

Resolução:

Alternativa B

Queremos calcular os cofatores C13, C22 e C31.

Começando por C13, eliminaremos a linha 1 e a coluna 3:

\(\left[\begin{matrix}4&-4\\-2&0\\\end{matrix}\right]\)

Calculando seu cofator, temos:

C13 = (– 1)1+3 [0 ⸳ 4 – (– 2) ⸳ (– 4)]

C13 = (– 1)4 [0 – (+ 8)]

C13 = 1 ⸳ (– 8) = – 8

Agora, calcularemos C22. Eliminaremos a linha 2 e a coluna 2:

\(\left[\begin{matrix}3&5\\-2&1\\\end{matrix}\right]\)

Calculando seu cofator:

C22 = (– 1)2+2 [3 ⸳ 1 – (– 2) ⸳ 5]

C22 = (– 1)4 [3 + 10]

C22 = 1 ⸳ 13 = 13

Em seguida, calcularemos C31. Eliminaremos, então, a linha 3 e a coluna 1:

\(\left[\begin{matrix}2&5\\-4&-1\\\end{matrix}\right]\)

C31 = (– 1)3+1 [2 ⸳ (– 1) – (– 4) ⸳ 5]

C31 = (– 1)4 [– 2 + 20]

C31 = 1 ⸳ 18 = 18

Por fim, calcularemos a soma dos valores encontrados:

S = – 8 + 13 + 18 = 23

Questão 2

O valor do menor complementar do termo a21 da matriz é:

\(\left[\begin{matrix}1&2&-1\\0&7&-1\\3&4&-2\\\end{matrix}\right]\)

A) – 4

B) – 2

C)  0

D) 1

E) 8

Resolução:

Alternativa C

Queremos o menor complementar \(D_{21}\). Para encontrá-lo, reescreveremos a matriz sem a segunda linha e a primeira coluna:

\(\left[\begin{matrix}2&-1\\4&-2\\\end{matrix}\right]\)

Calculando o determinante, temos que:

\(D_{21}=2\cdot\left(-2\right)-4\cdot\left(-1\right)\)

\(D_{21}=-4+4\)

\(D_{21}=0\)

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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