Grandezas inversamente proporcionais

As grandezas inversamente proporcionais estão constantemente presentes no nosso dia, como na relação entre velocidade e tempo ou entre densidade e volume.

Itens de estudo de Matemática dispostos sobre folha quadriculada. Na folha, lê-se: “Grandezas inversamente proporcionais”.
No nosso cotidiano, há várias grandezas que se relacionam de forma inversamente proporcional.

Grandezas inversamente proporcionais são aquelas que apresentam uma relação de proporção entre si de forma inversa. Isso quer dizer que à medida que o valor de uma grandeza aumenta, o valor da outra grandeza diminui na mesma proporção. Podemos perceber a presença de grandezas inversamente proporcionais no nosso cotidiano — por exemplo, na relação entre velocidade e tempo. Quanto maior a velocidade, menor será o tempo gasto para percorrer uma certa distância. Essa relação é proporcional, pois, se dobrarmos a velocidade, o tempo será a metade do tempo anterior. Analisar se as grandezas são inversamente proporcionais nos permite prever qual será o comportamento da grandeza.

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O que são grandezas inversamente proporcionais?

Conhecemos como grandeza tudo o que pode ser medido, como a velocidade, tempo, comprimento, densidade, volume, massa, aceleração, força. Enfim, estamos constantemente cercados de grandezas.

Quando analisamos a relação entre as duas grandezas, dizemos que ambas são inversamente proporcionais se à medida que o valor de uma dessas grandezas aumenta, o valor da outra diminui na mesma proporção.  

Em várias situações do nosso cotidiano, essas grandezas se relacionam. Por exemplo, sabemos que há uma relação entre a vazão de uma torneira e o tempo gasto para encher um tanque, pois se aumentarmos a quantidade de água que sai da torneira, ou seja, a sua vazão, menor será o tempo gasto para encher o tanque. É importante perceber que isso ocorre de forma proporcional. Por exemplo, se a torneira levava um tempo x para encher o tanque e a sua vazão dobrar, o tempo gasto será a metade de x. Se a vazão for 3 vezes maior, o tempo gasto será um terço de x e assim sucessivamente. Dizemos então que essas grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional.

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Exemplos de grandezas inversamente proporcionais

  • Velocidade e tempo: Como vimos anteriormente, a velocidade e o tempo são grandezas que se relacionam de forma inversamente proporcional, pois em uma distância fixa, se diminuirmos a velocidade, o tempo gasto para percorrer essa distância será maior.
  • Impressões feitas e quantidade de tinta restante: Em uma máquina de impressora, sabemos que há uma relação inversamente proporcional entre o número de impressões e a quantidade de tinta restante, pois quanto maior o número de impressões realizadas, menor será a quantidade de tinta restante na máquina.

Como calcular grandezas inversamente proporcionais

Considerando os números a, b, c e d, com b e d diferentes de 0, se a e b são inversamente proporcionais a c e d, temos que:

\(\frac{a}{\frac{1}{b}}=\frac{c}{\frac{1}{d}}\)

Exemplo:

Para realizar determinado percurso a 60 km/h, um veículo demora 3 horas. Caso a velocidade seja de 90 km/h, qual será o tempo gasto por esse veículo?

Sabemos que 60 está para 3 assim como 90 está para x, logo:

\(\frac{60}{\frac{1}{3}}=\frac{90}{\frac{1}{x}}\)

Multiplicando cruzado:

\(60\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\cdot90\)

\(\frac{60}{x}=\frac{90}{3}\)

\(\frac{60}{x}=30\)

\(30x=60\ \)

\(x=\frac{60}{30}\)

\(x=2\ horas\)

O tempo gasto será de 2 horas.

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Grandezas inversamente proporcionais x grandezas diretamente proporcionais

Ao comparar duas grandezas, pode ocorrer outra forma de proporcionalidade bastante comum, caracterizando as chamadas grandezas diretamente proporcionais. A diferença é que duas grandezas são diretamente proporcionais quando à medida que o valor de uma grandeza aumenta, o da outra também aumenta na mesma proporção. Podemos ver essa situação, por exemplo, na relação entre a distância percorrida e o combustível consumido: quanto maior a distância percorrida, maior será o combustível consumido e na mesma proporção, pois se a distância dobrar, o combustível consumido também dobrará.

Exercícios resolvidos sobre grandezas inversamente proporcionais

Questão 1

Em uma construção, com colaboradores igualmente produtivos, constatou-se que 5 operários demorariam 15 dias para terminar a obra. Caso a empresa precise reduzir o tempo para 1 semana, será necessário que essa empresa contrate mais

A) 4 funcionários.

B) 5 funcionários.

C) 6 funcionários.

D) 8 funcionários.

E) 11 funcionários.

Resolução:

Alternativa C

O tempo e a quantidade de operários são grandezas inversamente proporcionais. Logo, quanto maior a quantidade de operários, menor o tempo. Como uma semana tem 7 dias, sabemos que 5 está para 15 assim como x está para 7.

\(\frac{5}{\frac{1}{15}}=\frac{x}{\frac{1}{7}}\)

\(5\cdot\frac{1}{7}=x\cdot\frac{1}{15}\)

\(\frac{5}{7}=\frac{x}{15}\)

\(7x\ =\ 5\ \cdot15\)

\(7x\ =\ 75\)

\(x=\frac{75}{7}\)

\(x=10,7\ \)

Como é impossível contratar 10,7 funcionários, é necessário que a empresa tenha 11 funcionários. Entretanto, ela já possui 5, logo será necessário que a empresa contrate mais 6 funcionários.

Questão 2

Em cada alternativa a seguir há duas grandezas que podem se relacionar ou não. Marque a alternativa em que as grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional.

A) A velocidade de um meio de transporte e a distância percorrida em um mesmo tempo.

B) A quantidade de impressões e a capacidade de impressão de uma gráfica.

C) O número de pessoas em uma festa e a quantidade de bebida consumida.

D) O número de erros em uma prova e o número de acertos nessa mesma prova.

E) O número de estudantes em uma sala e as notas dos alunos.

Resolução:

Alternativa D

Quanto maior o número de erros em uma prova, menor será o número de acertos, logo essas grandezas são inversamente proporcionais.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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