Função modular

A função modular é um tipo de função que possui como característica em sua lei de formação a presença da variável dentro do módulo. O domínio e o contradomínio de uma função desse tipo é o conjunto dos números reais.

Vale lembrar que o módulo de um número é o valor absoluto dele, ou seja, a distância que esse número está do 0. A distância é uma grandeza que é sempre positiva, logo, o módulo de um número sempre será positivo. Ter o módulo na lei de formação faz com que o gráfico de uma função modular, fique com a sua maior parte acima do eixo horizontal.

Leia também: Funções no Enem: como esse tema é cobrado?

Definição da função modular

Gráfico de uma função modular.
Gráfico de uma função modular.

Uma função f: R → R é conhecida como função modular quando a lei de formação da função apresenta a variável dentro do módulo.

Exemplos:

a) f(x) = |x|

b) g(x) = | 2x – 3|

c) h(x) = | x² – 5x + 4|

 Nesse caso, é importante lembrar a definição de módulo.

Para representar o módulo de um número n, representamos o número entre barras retas |n|:

O módulo n pode ser dividido em dois casos:

  • quando n é positivo |n| = n,
  • quando n é negativo, então |n| = – n.

Veja também: Inequação modular – desigualdade cuja incógnita se encontra dentro de um módulo

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Gráfico de uma função modular

Para representar a função modular em um gráfico, é importante compreender que não existe só um tipo de comportamento comportamento, pois podemos ter diferentes leis de formação dentro do módulo. Então faremos a representação gráfica dos casos mais recorrentes de função modular.

  • Exemplo de função modular do 1ºgrau

Começando pelo exemplo mais simples, faremos a construção do gráfico de funções modulares em que há uma função do 1º grau dentro do módulo.

Exemplo:

f(x) = |x|

Nesse caso, podemos dividir a lei de formação em dois casos,  consequentemente o gráfico também será dividido em dois momentos. Aplicando a definição de módulo temos que:

 

Sendo assim, o gráfico da função também será composto pelo gráfico das funções f(x) = -x, antes de interceptar o eixo y, e f(x) = x.

Para construir o gráfico, devemos encontrar o valor para alguns números:

x

f(x) = |x|

(x,y)

0

f(0) = |0| = 0

A (0,0)

1

f(1) = |1| = 1

B (1,1)

2

f(2) = |2| = 2

C (2,2)

– 1

f(–1) = |–1| = 1

D (– 1,1)

– 2

f(–2) = |–2| = 2

E ( – 2,2)

Agora representando esses pontos no plano cartesiano, teremos o seguinte gráfico:

Sempre que houver uma função afim dentro do módulo, o gráfico pode ser dividido conforme o gráfico apresentado. O ponto em que o comportamento da função muda é sempre no 0 da função.

Exemplo 2:

f(x) = |3x – 6|

Para construir o gráfico dessa função, vamos encontrar primeiro o 0 da função:

3x – 6 = 0

3x = 6

x = 6/3

x = 2

Agora montamos a tabela escolhendo valores para x, sendo, pelo menos, dois valores maiores que o 0 da função e dois valores menores que o 0 da função:

x

f(x) = |3x – 6|

(x,y)

2

f(2) = |3·2 – 6| = 0

A(2,0)

3

f(3) = |3·3 – 6| = 3

B(3,3)

4

f(4) = |3·4 – 6| = 6

C(4,6)

0

f(0) = |3·0 – 6| = 6

D(0,6)

1

f(1) = |3·1 – 6| = 3

E( 1,3)

 

  • Exemplo de função modular de 2º grau

Além da função polinomial do 1º grau, outra função bastante comum é a função quadrática dentro do módulo. Quando há uma função do 2º grau no módulo, é importante lembrar o estudo de sinal dessa função, para compreender melhor esse caso, vamos resolver um exemplo de função modular de 2º grau:

Exemplo:

f(x) = |x² – 8x + 12|

  • 1º passo: encontrar os 0 da função f(x) = x² – 8x + 12.

Para encontrar os 0 da função utilizamos a fórmula de Bhaskara:

a = 1

b = – 8

c = 12

Δ = b² – 4ac

Δ = ( – 8) ² – 4·1·12

Δ = 64 – 48

Δ = 16

 

Agora vamos calcular o vértice da função quadrática e calcular seu módulo, caso seja necessário:

xv= (6+2) : 2 = 4

yv = |x² – 8x + 12| =  |4² – 8·4 +12 | = |16 – 32 + 12| = | – 4| = 4

Vale lembrar que entre os 0 da função, a função x² – 8x + 12 teria valores negativos, mas pela definição de módulo esse valor mantém-se positivo.

Por fim, sabemos que o gráfico toca o eixo y no ponto em que x = 0.

f(0) = |x² – 8x + 12|

f(0) = |0² – 8·0+12| = 12

Então, conhecemos quatro pontos do gráfico da função:

  • Os 0: A(6,0) e B(2,0)
  • O seu vértice C(4,4)
  • O ponto em que o gráfico toca o eixo y D(0,12)

Lembrando-se do estudo de sinal de uma função quadrática, na função x² – 8x + 12 temos a = 1, o que faz com que a concavidade da função seja para cima. Quando isso ocorre, entre os 0 da função, y é negativo. Como estamos trabalhando com uma função modular, entre os vértices, o gráfico será simétrico em relação ao eixo x gráfico da função x² – 8x + 12.

Vamos traçar o gráfico da função:

Propriedades da função modular

Vale lembrar que em uma função modular, todas as propriedades do módulo são válidas, são elas:

Considere n e m como números reais.

  • 1ª propriedade: o módulo de um número real é igual ao módulo do seu oposto:

|n| = |-n|

  • 2ª propriedade: o módulo de n ao quadrado é igual ao módulo do quadrado de n:

||= |n

  • 3ª propriedade: o módulo do produto é igual ao produto dos módulos:

|n·m| = |n| ·|m|

  • 4ª propriedade: o módulo da soma é sempre menor ou igual a soma dos módulos:

|m + n| ≤ |m| + |n|

  • 5ª propriedade: o módulo da diferença é sempre maior ou igual à diferença dos módulos:

|m – n| ≥ |m| – |n|

Acesse também: Quais as diferenças entre função e equação?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (EEAR) Seja f(x) = | 3x – 4 | uma função. Sendo a ≠ b e f(a) = f(b) = 6, então o valor de a + b é igual a

A) 5/3

B) 8/3

C) 5

D) 3

Resolução

Alternativa B. Se f(a) = f(b)  com a ≠ b então sabemos que existem duas possibilidades para |3x – 4| = 6, sendo elas:

3x – 4 = 6  ou 3x – 4  = – 6

Sabemos que:

|3b – 4| = | 3a – 4|

Suponha então que:

3b – 4 = 6

Logo:

 3a – 4 = – 6 

3b = 6+4

3b= 10

b = 10/3

3a – 4 = – 6

3a = – 6 + 4

3a = – 2

a = – 2/3

Dessa forma, a + b  é igual a 8/3.

Questão 2 – Dada a função f(x) = |x² – 8|  todos são os valores que fazem com que f(x) = 8 são:

A) 4 e – 4

B) 4 e 0

C) 3 e – 3

D) – 4, 0 e 4

E) 0

Resolução

Alternativa D.

Para que |x² – 8| = 8 temos que:

x² – 8 = 8 ou x² – 8 = – 8

Resolvendo a primeira:

x² – 8 = 8

x² = 8 + 8

x² = 16

x= ± √16

x = ± 4

Resolvendo a segunda:

x² – 8 = – 8

x² = – 8 + 8

x² = 0

x = 0

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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