Bhaskara: resolvendo uma equação completa do 2° Grau

No estudo da álgebra, a fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver equações do 2° grau, sejam elas completas ou incompletas.

A fórmula de Bhaskara é uma das alternativas de resolução de uma equação do 2° grau. Mas o que poucos sabem é que essa fórmula não foi desenvolvida pelo matemático Bhaskara! Na verdade, Bhaskara encontrou a fórmula para resolver equações do 2° grau em documentos feitos pelo matemático Shidhara provavelmente no século XI. Acredita-se que a fórmula leva o nome de Bhaskara por ter sido ele o primeiro a afirmar que uma equação do 2° grau pode ter dois resultados. Outro matemático famoso por estudar resoluções de equações do 2° grau foi al-Khowarizmi.

Mas o que são equações do 2° grau?

Trata-se de igualdades algébricas caracterizadas pela ocorrência de uma variável com expoente 2. Em geral, podemos dizer que uma equação do 2° grau é da forma ax² + bx + c = 0

A letra x é a incógnita, e as letras a, b e c são números reais que exercem a função de coeficientes. Para que a equação seja do 2° grau, é necessário que a 0. Além disso, se os coeficientes b e c forem nulos (iguais a zero), a equação será incompleta. As equações do 2° grau podem possuir até dois resultados, que são chamados de raízes da equação.

Agora que já sabemos o que é uma equação do 2° grau, vamos utilizar o método de al-Khowarizmi para deduzir a fórmula intitulada como “Fórmula de Bhaskara”. A ideia de al-Khowarizmi é modificar a equação do 2° grau até que ela se torne uma equação de 1° grau. Tome uma equação do 2° grau padrão:

ax² + bx + c = 0

Vamos mudar o coeficiente c para o segundo membro da igualdade:

ax² + bx = – c

Multiplicando ambos os lados da equação por 4a, teremos:

4a.(ax² + bx) = 4a.(– c)

4a²x² + 4abx = – 4ac

Vamos agora adicionar aos dois lados da igualdade:

4a²x² + 4abx + b² = – 4ac + b²

Observe que o primeiro membro da equação é um trinômio quadrado perfeito e podemos reescrevê-lo da seguinte forma:

(2ax + b)² = b² – 4ac

Considerando que o termo b² – 4ac é positivo, podemos extrair a raiz quadrada nos dois lados da equação:

Como a raiz quadrada de um termo ao quadrado é o próprio termo, podemos concluir que:

2ax + b = 

Mas uma raiz quadrada pode ter dois resultados, um positivo e outro negativo. Sendo assim, a equação ficará como:

2ax + b = ± 

Queremos encontrar o valor de x, portanto, precisamos isolá-lo no primeiro membro da igualdade. Dessa forma, b e 2a precisam passar para o segundo membro da igualdade:

2ax + b = ± 

2ax = – b ± 

Usualmente, utilizamos a letra grega Δ (delta) para representar o discriminante da equação b² – 4ac. Mas por que esse nome, discriminante?

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Porque o valor de Δ define quantas raízes a equação terá. Observe como o valor de Δ pode influenciar o resultado da equação do 2° grau:

Δ > 0 → a equação terá duas raízes;
Δ = 0 → a equação terá uma raiz;
Δ < 0 → a equação não terá raízes reais.

A partir da fórmula de Bhaskara, foram desenvolvidas as Relações de Girard, muito aplicadas na resolução de equações de 2° Grau.

Veja alguns exemplos de resolução de equações do 2° grau através da fórmula de Bhaskara:

Exemplo 1: x² + 3x – 4 = 0

Os coeficientes da equação são: a = 1, b = 3 e c = – 4. Vamos utilizar esses valores para calcular o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25

Como Δ > 0, podemos afirmar que a equação terá duas raízes. Vamos agora utilizar a fórmula de Bhaskara, substituindo o discriminante b² – 4ac por Δ:

x = – 3 ± 25
       2.1

x = – 3 ± 5
       2

Podemos ter dois resultados:

x1 = – 3 + 5 = 2 = 1
       2       2

x2 = – 3 – 5 = – 8 = – 4
   2          2

Portanto, a equação x² + 3x – 4 = 0 possui as raízes x1 = 1 e x2 = – 4.

Exemplo 2: 2x² – 4x = 0

Os coeficientes da equação são: a = 2 e b = – 4. Como c = 0, essa equação é incompleta. Calculemos o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 4)² – 4.2.0
Δ = 16 – 0
Δ = 16

Como Δ > 0, a equação terá duas raízes. Através da fórmula de Bhaskara, temos:

x = – (– 4) ± √16
         2.2

x = 4 ± 4
     4

x1 = 4 + 4 = 8 = 2
     4       4

x2 = 4 – 4 = 0 = 0
    4      4

Portanto, x1 = 2 e x2 = 0 são soluções da equação 2x² – 4x = 0.

Exemplo 3: x² – 2x + 16 = 0

Os coeficientes da equação são: a = 1 e b = – 2 e c = 16. Vamos calcular o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 2)² – 4.1.16
Δ = 4 – 64
Δ = – 60

Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
 

Aproveite para conferir nossas videoaula relacionadas ao assunto:

Aprenda a utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver equações do 2° grau

Aprenda a utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver equações do 2° grau

Por: Amanda Gonçalves Ribeiro

Artigos relacionados

Equações Algébricas Fracionárias

Restrições ao denominador de uma equação fracionária algébrica.

Equação

Equação, Situação problema, Jogo de sinal, Problemas matemáticos, Processo algébrico, Expressões numéricas, Expressões algébricas, Igualdades, Operações.

Equação Exponencial

Equações com a variável no expoente.

Expressão algébrica

Expressão, Expressão numérica, Expressão algébrica, Operação, Termos semelhantes, monômios, monômios semelhantes, operar termo semelhantes, Valor numérico, Fator comum.

Equações Irracionais

Aprenda a resolver equações irracionais através da resolução de alguns exemplos dos tipos mais comuns de como elas podem apresentar-se.

Equações do 2° Grau Incompletas

Confira dicas e exemplos para aprender a resolver equações incompletas do 2° grau quando os coeficientes b, c ou ambos forem nulos.

Estudo da variação do sinal de uma função do 2° grau

Aprenda a identificar o sinal de uma função do 2° grau analisando o delta da função e descubra se a parábola toca ou não o eixo x.

Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau

Aprenda a estabelecer e a aplicar as relações entre a soma e produto das raízes de uma equação do 2° grau.

Inequação do 2° Grau

Você sabe como se resolve uma inequação do 2° grau? Aprenda aqui como analisá-la e também como encontrar seu conjunto solução!

Fórmula de Bhaskara

Aprenda a utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver equações do segundo grau com maior facilidade!

Sistemas lineares com duas equações: método da adição

Clique para aprender a resolver sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas pelo método da adição.

Sistemas lineares com duas equações: método da substituição

Clique para aprender passo a passo a resolver sistemas lineares com duas equações pelo método da substituição.

Demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice

Confira as expressões que podem ser usadas para determinar as coordenadas do vértice de uma parábola e aprenda o método utilizado na demonstração dessas fórmulas. Conheça ainda outra forma empregada para obter as coordenadas do vértice que é baseada na geometria plana e que também pode demonstrar essas fórmulas.

Equações Biquadradas

Equação, equação do segundo grau, Equação biquadrada, Forma geral da equação biquadrada, Raízes da equação biquadrada, Incógnita, Substituição de incógnitas.

Problemas envolvendo equações

Aprenda a solucionar problemas envolvendo equações em sua resolução. Veja alguns exemplos e tire suas dúvidas!

Resolvendo Equações Exponenciais

Resolução de equações exponenciais.

Relações de Girard

Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grau.

Equação Produto

Resolução de uma equação produto.

Trinômio: Soma e Produto

Fatoração do trinômio quadrado perfeito.