Equação geral da circunferência

A equação geral da circunferência é uma equação que descreve a circunferência de forma algébrica. A Geometria Analítica nos possibilita representar objetos geométricos por meio de uma equação, e a circunferência pode ser representada por meio de uma equação conhecida como equação geral da circunferência de centro C (a, b) e raio r, que é a equação x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0. Para encontrar a equação de uma circunferência representada no plano cartesiano, é necessário conhecermos as coordenadas do seu centro e do seu raio.

Veja também: Círculo — a região plana que apresenta uma circunferência como limite

Resumo sobre equação geral da circunferência

• A equação geral da circunferência representa de forma algébrica a circunferência.

• A equação geral da circunferência de centro C (a, b) e raio r é a equação:

\(x²+y² –2ax –2by+a²+b² –r²=0\)

• Para encontrar a equação geral de uma circunferência, é necessário conhecer o seu centro e o seu raio.

• Podemos descrever a equação geral da circunferência analisando a sua representação no plano cartesiano.

Qual é a equação geral da circunferência?

Considerando uma circunferência de centro C (a,b) e raio r, a equação geral da circunferência é uma maneira de demonstrar a circunferência de forma algébrica. A equação da geral circunferência é:

\(x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0\)

Sabemos que a circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro C (a,b). Para calcular a distância entre o ponto C e o ponto A (x, y), utilizamos a equação:

\(\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}=dAB\)

A distância entre esses pontos é conhecida como raio da circunferência. Então, temos:

\(\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}=r\)

Elevando os dois lados ao quadrado, podemos eliminar a raiz:

\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\)

Agora, desenvolvendo as potências:

\(x^2-2ax+a^2+y^2-2bx+b^2-r^2=0\)

Por fim, basta mudar a ordem dos termos para encontrar a equação geral da circunferência:

\(x²+y² –2ax –2by+a²+b² – r²=0\)

Como calcular a equação geral da circunferência?

Para encontrar a equação geral da circunferência, conhecendo seu raio e centro, basta substituir os valores de a e b pelos valores das coordenadas do centro da circunferência e o valor de r pelo valor do raio.

• Exemplo 1

Encontre a equação geral da circunferência com centro (2, -3) e raio igual a 5.

Resolução:

Dados:

\(a=2,\ b=-\ 3\ e\ r=5\)

Então, temos:

\(x²+y² –2ax –2by+a²+b² –r²=0\)

\(x^2+y^2–2⋅2⋅x–2⋅-3⋅y+22+-32–52=0\)

\(x^2+y^2-4x\ +6y+4+9\ –25=0\)

Assim, a equação geral da circunferência é:

\(x^2+y^2-4x\ +6y+\ –12=0\)

• Exemplo 2

Encontre a equação geral da circunferência:

Resolução:

Analisando a imagem, é possível verificar que o centro da circunferência é o ponto C (1,2). Para encontrar o raio, basta notar que a distância do centro até a extremidade da circunferência é de 4 unidades, logo r = 4.

Agora que conhecemos o raio e o centro, basta substituir na equação geral da circunferência:

\(x²+y² –2ax –2by+a²+b² –r²=0\)

\(x^2+y^2–2⋅1⋅x–2⋅2⋅y+12+22–42=0\)

\(x^2+y^2–2x–4y+1+4 –16=0\)

Então, a equação geral da circunferência é:

\(x^2+y^2–2x–4y-11=0\)

Como calcular o centro e o raio da circunferência?

Para calcular o centro e o raio da circunferência, conhecendo a equação geral da circunferência, utilizamos um método conhecido como método da comparação dos termos da circunferência.

• Exemplo

Qual é o centro da circunferência com a equação geral abaixo?

\(x^2+y^2-10x+14y+10=0\)

Resolução:

Para utilizar o método da comparação, igualaremos as equações:

\(x^2+y^2-10x+14y+10=x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2\)

Note então que:

\(-10x=-2ax\)

Então, temos:

\(-10x=-2ax\ \)

\(\frac{-10}{-2}x=ax\)

\(5x=ax\)

\(5=a\)

Portanto, \( a=5\).

Para calcular o valor de b, compararemos o termo:

\(14\ y=-\ 2by\)

\(14y=-2by\)

\(\frac{14}{-2}y=by\)

\(-7y=by\)

\(-7=b\)

\(b=-7\)

Então, o centro da circunferência é o ponto C \( (5,\ -\ 7)\).

Após encontrarmos o centro da circunferência, é possível calcular o seu raio, pois analisando o termo independente da equação, temos:

\(a^2+b^2-r^2=10\)

Substituindo os valores do centro:

\(5^2+\left(-7\right)^2-r^2=10\)

\(25+49-r^2=10\)

\(74-r^2=10\)

\(-r^2=10-74\)

\(-r^2=-64\left(-1\right)\)

\(r^2=64\)

\(r=\sqrt{64}\)

\(r=8\)

Leia também: Equação geral da reta — a maneira algébrica de estudar uma reta no plano cartesiano

Exercícios resolvidos sobre equação geral da circunferência

Questão 1

O raio da circunferência que possui equação geral igual a \(x^2+y^2+4x-10y+13=0\) é igual a:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa D

Utilizando o método da comparação, temos:

\(-2ax=4x\ \)

\(ax=\frac{4}{-2}x\)

\(ax=-\ 2x\)

\(a=-2\ \)

Em seguida, calcularemos o valor de b:

\(-\ 2by=-\ 10y\)

\(by=\frac{-10}{-2}y\)

\(by=5y\)

\(b=5\)

Agora, para encontrar o raio, temos:

\(a^2+b^2-r^2=13\)

\(\left(-2\right)^2+5^2-r^2=13\)

\(4+25-r^2=13\)

\(29-r^2=13\)

\(-r^2=13-29\)

\(-r^2=-16\left(-1\right)\)

\(r^2=16\)

\(r=\sqrt{16}\)

\(r=4\ \)

Questão 2

Uma circunferência que possui raio igual a 3 cm e centro igual a C (4, -5) possui equação geral igual a:

A) \(x^2+y^2-8x+10y+32=0\)

B) \( x^2+y^2-8x+10y+9=0\)

C) \( x^2+y^2+4x+5y+9=0\)

D) \(x^2+y^2+8x\ -\ 10y+32=0\)

E) \( x^2+y^2-4x+5y+3=0\)

Resolução:

Alternativa A

Calculando a equação geral da circunferência:

\(a=4,\ b=-\ 5\ e\ r=3\)

\(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2+b^2-r^2=0\)

\(x^2+y^2-2\cdot4x-2\cdot\left(-5\right)y+4^2+\left(-5\right)^2-3^2=0\)

\(x^2+y^2-8x+10y+16+25-9=0\)

\(x^2+y^2-8x+10y+32=0\)