Desvio-padrão

Desvio-padrão é uma medida de dispersão que indica o comportamento de um conjunto de dados em relação à média.

Óculos e xícara de café próximos a um caderno com um gráfico indicando desvio-padrão.
O desvio-padrão (σ) estabelece como os dados variam em torno da média (μ).

O desvio-padrão é uma medida de dispersão (ou variabilidade) muito utilizada na estatística. Essa medida caracteriza o quão próximos os dados coletados estão da média aritmética. O desvio-padrão está relacionado com o conceito de variância, outra medida de dispersão aplicada na estatística. Inclusive, o valor do desvio-padrão é obtido pela raiz quadrada da variância.

Leia também: Média ponderada — a média em que cada valor tem determinado peso

Tópicos deste artigo

Resumo sobre desvio-padrão

  • O desvio-padrão é uma medida de dispersão (variabilidade).

  • A letra minúscula sigma (σ) e a letra s são utilizadas para representar o desvio-padrão.

  • A letra minúscula um (μ) é utilizada para representar a média aritmética.

  • A maior parte dos dados se encontra no intervalo [μ – σ, μ + σ].

  • O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada da variância, outra medida de variabilidade.

O que é desvio-padrão?

O desvio-padrão é uma medida de dispersão (ou variabilidade). Essa medida indica como os dados variam em relação à média aritmética.

Exemplo:

Em um campeonato de basquete, Ana e Rebeca disputavam quem realizaria o maior número de cestas. Após cinco jogos, o placar foi o seguinte:

Jogo

Ana

Rebeca

Jogo 1

12

15

Jogo 2

10

11

Jogo 3

13

10

Jogo 4

15

12

Jogo 5

15

17

Como as duas marcaram a mesma quantidade de cestas (65), a vencedora foi a jogadora mais regular durante o campeonato.

Essa regularidade é determinada pelo desvio-padrão, como veremos adiante. Antes, no entanto, é necessário mencionar um conceito muito próximo do desvio-padrão, chamado de variância.

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Diferenças entre desvio-padrão e variância

O desvio-padrão é obtido com base na raiz quadrada da variância. A variância (σ²) determina a variabilidade de um conjunto de dados pela seguinte expressão:

\(σ^2=\frac{∑_{i=1}^N(x_i-μ)^2 }N\)

  • N → quantidade de dados

  • μ → média aritmética dos dados

  • \(∑_{i=1}^N(x_i-μ)^2 \) \((x_1-μ)^2+(x_2-μ)^2+(x_3-μ)^2+ ...+(x_N-μ)^2\)

  • \(x_1,x_2,x_3,…,x_N\) → dados

Apesar da escrita matemática parecer difícil, as contas e a interpretação do resultado são mais simples, como estudaremos a seguir.

Vamos voltar ao exemplo do campeonato de basquete e calcular a variância do número de cestas marcadas para cada jogadora. Para calculá-la, calcularemos a média aritmética para cada uma:

Ana: \(\frac{12+10+13+15+15}5 =13\)

Rebeca: \(\frac{15+11+10+12+17}5 =13\)

Como era esperado (considerando que ambas realizaram 65 cestas em cinco jogos), a média das duas jogadoras é a mesma: 13 cestas. Agora, vamos calcular a variância de cada uma:

Ana: \( σ^2=\frac{(12-13)^2+(10-13)^2+(13-13)^2+(15-13)^2+(15-13)^2}5=\frac{18}5=3,6\)

Rebeca: \(σ^2=\frac{(15-13)^2+(11-13)^2+(10-13)^2+(12-13)^2+(17-13)^2}5=\frac{34}5=6,8\)

Observe que há uma questão com esses resultados. Como o cálculo da variância envolve elevar a diferença entre os dados e a média ao quadrado, a unidade “número de cestas” aparece ao quadrado. Para resolver esse detalhe, observaremos o desvio-padrão para cada uma das jogadoras, que, como sabemos, é justamente a raiz quadrada da variância:

Ana: \( σ=\sqrt[2]{3,6}≅1,9\)

Rebeca: \( σ=\sqrt[2]{6,8}≅2,6\)

Assim, ao longo dos cinco jogos, a maior parte do número de cestas de Ana variou 1,9 (para mais ou para menos) em torno da média 13, ou seja, entre \(13-1,9=11,1\) e \(13+1,9=14,9\).

Já no caso de Rebeca, ao longo dos cinco jogos, a maior parte do número de cestas variou 2,6 (para mais ou para menos) em torno da média 13, ou seja, entre \(13-2,6=10,4 \) e \(13+2,6=15,6\).

Portanto, por apresentar o menor desvio-padrão, a jogadora mais regular foi Ana.

Como se calcula o desvio-padrão?

Considerando um grupo de dados não agrupados de uma população, o desvio-padrão (σ) é calculado pela seguinte expressão:

\(σ=\sqrt[2]{\frac{∑_{i=1}^N(x_i-μ)^2 }N}\)

  • N → quantidade de dados

  • μ → média aritmética dos dados

  • \(∑_{i=1}^N(x_i-μ)^2 \) → \((x_1-μ)^2+(x_2-μ)^2+(x_3-μ)^2+ ...+(x_N-μ)^2\)

  • \(x_1,x_2,x_3,…,x_N\) → dados

Exemplo:

José e Fabiano estão concorrendo a um prêmio pela melhor performance escolar na disciplina de História. Durante o bimestre, ambos realizaram três provas e obtiveram as seguintes notas:

Prova

José

Fabiano

Prova 1

10

9,6

Prova 2

9,4

9,5

Prova 3

9,7

10

Como a média das notas dos dois estudantes foi a mesma, o prêmio foi destinado ao aluno com menor variabilidade de notas. Quem foi o vencedor?

Resolução:

Perceba que o vencedor foi o estudante com menor desvio-padrão. Assim, precisamos inicialmente calcular as médias:

José: \(\frac{10+9,4+9,7}3 = \frac{ 29,1}3=9,7\)

Fabiano: \(\frac{9,6+9,5+10}3 = \frac{29,1}3=9,7\)

Observe que, como informado no enunciado, as médias dos dois alunos são iguais.

Agora, podemos encontrar o desvio-padrão de cada um:

José: \( σ=\sqrt[2]{\frac{(10-9,7)^2+(9,4-9,7)^2+(9,7-9,7)^2}3}≅0,245\)

Fabiano: \(σ=\sqrt{\frac{(9,6-9,7)^2+(9,5-9,7)^2+(10-9,7)^2}3} ≅0,2\)

Portanto, Fabiano foi o estudante que recebeu o prêmio.

Tipos de desvio-padrão

O desvio-padrão está relacionado com o tipo de informação trabalhada e com a organização dos dados. Desse modo, o tipo de desvio-padrão é definido de acordo com os dados trabalhados. Nos exemplos anteriores, tratamos de dados não agrupados de uma população e, portanto, calculamos o desvio-padrão populacional.

Se os dados trabalhados fossem de outro tipo (como dados agrupados) ou estivessem escritos de outra maneira (como no caso de dados agrupados em classes), a expressão do desvio-padrão deveria ser adaptada.

Veja também: Estatística no Enem — como esse tema é cobrado?

Exercícios resolvidos sobre desvio-padrão

Questão 1

(FGV) Considere as duas listas de números a seguir.

Lista 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Lista 2: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Sejam \(D_1\) e \(D_2\) os desvios-padrões das listas 1 e 2 respectivamente. É correto concluir que:

A) \( D_1=D_2\)

B) \( D_2=D_1+4\)

C) \( D_2=D_1+2\)

D) \( D_2=2D_1\)

E) \( D_2=\sqrt{2D_1}\)

Resolução:

Alternativa A

Sejam \(μ_1\) e \(μ_2\) as médias das listas 1 e 2, respectivamente, e sejam \(σ_1\) e \(σ_2\) os desvios-padrões. Observe que \(μ_1=6\) e \(μ_2=10\). Assim, temos as seguintes expressões para \(σ_1\) e \(σ_2\) (perceba que \((-2)^2=4 \) e \(2^2=4\)):

\(σ_1= \sqrt[2]{\frac{(1-6)^2+(2-6)^2+(3-6)^2+(4-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2+(11-6)^2}{11}}\)

\(σ_1= \sqrt[2]{\frac{5^2+4^2+3^2+2^2+1^2+0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{11}}\)

\(σ_2= \sqrt[2]{\frac{(5-10)^2+(6-10)^2+(7-10)^2+(8-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(12-10)^2+(13-10)^2+(14-10)^2+(15-10)^2}{11}}\)

\(σ_2= \sqrt[2]{\frac{(5^2+4^2+3^2+2^2+1^2+0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{11}}\)

Portanto, \(D_1\)=\(D_2\).

Questão 2

(Enem) O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.

Quadro, em uma questão do Enem sobre desvio-padrão, apresentando informações com base nas pesagens de atletas para o cálculo.

Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas:

A) I e III

B) I e IV

C) II e III

D) II e IV

E) III e IV

Resolução:

Alternativa C

Como a primeira luta ocorre entre o atleta mais regular e o menos regular, os organizadores devem escolher, respectivamente, os atletas com menor e maior desvio-padrão. Assim, segundo a tabela, a primeira luta acontece entre os atletas III e II.

Por: Maria Luiza Alves Rizzo

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