Comprimento da circunferência

Comprimento da circunferência é o nome que se dá à medida do contorno de um círculo. Para calcular essa medida, usamos como base o valor do raio da figura ou o valor de seu diâmetro, que, como se sabe, equivale ao dobro do comprimento do raio. A fórmula geral usada para calcular o comprimento da circunferência é \(C=2\pi r\).

Leia também: Qual a diferença entre um círculo e uma circunferência?

Resumo sobre o comprimento da circunferência

• O comprimento da circunferência é a medida do contorno do círculo.
• Para calcular o comprimento da circunferência, basta conhecer a medida do seu raio r.
• O comprimento da circunferência é calculado por C=2πr.
  • C → comprimento
  • r → raio
  • π  é uma constante irracional com valor de 3,141592...

O que é o comprimento da circunferência?

Conhecemos como circunferência a curva formada pelo conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do seu centro. Essa distância é conhecida como raio. A circunferência é o contorno do círculo, e o comprimento da circunferência é a medida desse contorno.

Como o círculo é uma curva, que não possui lados, então o comprimento do seu contorno não é conhecido como perímetro, mas sim como comprimento da circunferência, logo, o comprimento da circunferência é equivalente ao que conhecemos como perímetro em um polígono. Vale ressaltar que o perímetro é a soma dos lados de um polígono, como a circunferência não possui lados, então não calculamos seu perímetro, mas sim seu comprimento.

Fórmula para calcular o comprimento da circunferência

De modo geral, o comprimento da circunferência é calculado pela fórmula:

\(C=2\pi r\)

C → comprimento da circunferência

r → comprimento do raio da circunferência

π→ constante irracional com valor de, aproximadamente, 3,141592... (conhecido como pi)

O valor de π é um número que não pode ser expresso como uma fração simples, ou seja, é irracional, e possui uma representação decimal infinita e não periódica. Ele é frequentemente utilizado para resolver problemas envolvendo figuras arredondadas, como circunferências, esferas, cilindros, arcos e cones. A letra π é utilizada para representar esse valor por este ter um número infinito de casas decimais, sendo algumas delas: π = 3,141592653589...

Dado que π possui infinitas casas decimais, aproximamos seu valor para resolver os problemas matemáticos que envolvem sua utilização. Essas aproximações são escolhidas de acordo com o grau de precisão necessário para cada problema, sendo as mais comuns π = 3, π = 3,1 ou π = 3,14.

Outra forma de calcular o comprimento da circunferência é utilizando o seu diâmetro, pois sabemos que o comprimento do diâmetro é igual ao dobro do comprimento do raio, sendo assim, podemos calcular o comprimento da circunferência com a fórmula:

\(C=d\pi\)

Em que d é o diâmetro da circunferência.

Note que as duas fórmulas dizem a mesma coisa, uma delas utiliza o diâmetro e a outra utiliza o raio multiplicado por 2.

Veja também: Como calcular a distância entre duas circunferências?

Como é calculado o comprimento de uma circunferência?

Para calcular o comprimento da circunferência, basta substituirmos o valor do raio da circunferência e, caso seja necessário, utilizar uma aproximação para o valor de π. O uso da aproximação para o valor de π depende do objetivo para o qual estamos calculando o valor do comprimento da circunferência, quanto mais casas decimais considerarmos, mais precisos serão os dados. Em alguns casos, não utilizamos aproximação para π, deixando o próprio símbolo.

Exemplo 1:

Qual é o comprimento de uma circunferência que possui raio medindo 12 cm?

Resolução:

Como não temos aproximação para π, substituiremos somente r = 12 na fórmula:

\(C=2\pi r\)

\(C=2\cdot\pi\cdot12\ \)

\(C=24\pi\ cm\)

Exemplo 2:

Uma área de lazer de um condomínio possui comprimento de área no formato de um círculo de raio medindo 5 metros. Utilizando π = 3,1, o comprimento da circunferência desse círculo mede quanto?

Resolução:

Calculando o comprimento da circunferência, temos que:

r = 5

π=3,1 

\(C=2\pi r\)

\(C=2\cdot3,1\cdot5\)

\(C=6,2\cdot5\)

\(C=31\ m\ \) 

Exemplo 3:

Uma circunferência possui comprimento medindo 12 cm. Considerando π = 3, qual medida do diâmetro dessa circunferência?

Resolução:

Sabemos que:

\(C=2\pi r\)

Logo, temos que:

\(12=2\cdot3\cdot r\)

\(12=6r\)

\(\frac{12}{6}=r\)

\(r=2\)

Se o raio mede 2 cm, então o diâmetro mede 4 cm.

Saiba mais: Como descobrir qual é a área de um triângulo?

Exercícios resolvidos sobre o comprimento da circunferência

Questão 1

Em uma piscina no formato circular com raio medindo 2 metros, será colocada uma grade de proteção, de modo que ela tenha sempre 1 metro de distância da borda da piscina. Utilizando 3,14 como aproximação para π, a medida do comprimento dessa grade é de:

A) 15,90 cm

B) 18,84 cm

C) 23,12 cm

D) 25,04 cm

E) 28,28 cm

Resolução:

Alternativa B

Para calcular o comprimento, temos que r = 2 + 1 = 3 e que π = 3,14:

\(C=2\ \pi r\)

\(C=2\cdot3,14\cdot3\)

\(C=6,28\cdot3\)

\(C=18,84\ cm\)

Questão 2

Conhecemos como arco uma parte do comprimento da circunferência. Analisando a imagem a seguir, podemos perceber que temos um arco BC cujo ângulo central é de 90º.

Analisando a circunferência, podemos afirmar que diferença entre o comprimento da circunferência e o comprimento do arco BC é igual a:

A) 5π

B) 7,5π

C) 10π

D) 12,5π

E) 17π

Resolução:

Alternativa B

Primeiro calcularemos o comprimento da circunferência:

\(C=2\pi r\)

\(C=2\pi\cdot5\)

\(C=10\pi\)

Sabemos que a circunferência representa uma volta completa, que é 360º, logo, dividindo 360º por 90º, temos que:

360 : 90 = 4

Então essa é a quarta parte da circunferência. Dividindo o comprimento por 4, encontraremos a medida do arco AC:

\(C∶4=10\pi∶4=2,5\pi\ \) 

Sendo assim, a diferença será de:

\(10\pi-2,5\pi=7,5\pi\)

Fontes

Lima, Elon Lages. Matemática: volume único. Rio de Janeiro: IMPA, SBM, 2009.

Giovanni, José Ruy; Bonjorno, José Roberto. Matemática: ensino médio - volume único. São Paulo: FTD, 2006.