<

Demonstração da fórmula de soma dos termos de uma PA

A demonstração da fórmula da soma dos termos de uma PA baseia-se na soma dos números de 1 a 100 feita por Gauss ainda quando criança.

Nas faces frontais dos dados, há uma PA de razão 2
Nas faces frontais dos dados, há uma PA de razão 2

A fórmula para soma dos termos de uma Progressão Aritmética (PA) é bastante conhecida e apenas multiplica metade do número de termos de uma PA pela soma de seus termos inicial e final. A demonstração dessa fórmula envolve justamente algumas somas de termos, partindo de um princípio matemático percebido primeiro por Gauss.

Soma de Gauss

Quando criança, Gaus e sua turma na escola foram castigados por um professor: deveriam somar todos os números de 1 a 100. Como bom matemático que já era aos dez anos de idade, Gauss levou poucos minutos para encontrar o resultado 5050 e foi o único a acertar.

Gauss conseguiu esse feito por perceber que a soma dos extremos 1 e 100 é igual a 101, a soma do segundo com o penúltimo termo também é 101 e a do terceiro com o antepenúltimo também. Gauss simplesmente supôs que todas as somas dariam 101 e multiplicou esse resultado por metade do número de elementos da sequência, pois, como estava somando dois a dois, obteria 50 resultados iguais a 101.

Com isso, foi possível criar a seguinte regra:

Em uma PA, a soma dos termos equidistantes das extremidades tem o mesmo resultado que a soma das extremidades.

Demonstração da soma dos termos da PA

Tendo em vista que, somando termos equidistantes das extremidades, o resultado será o mesmo, podemos tomar uma PA de n termos e somar cada termo com sua extremidade. Assim, dada a PA (x1, x2, … ,xn-1, xn), a soma de seus termos é:

Sn = x1 + x2 +… +xn-1 + xn

Agora, a partir da mesma soma, mas com os termos invertidos:

Sn = x1 + x2 +… +xn-1 + xn

Sn = xn + xn – 1 +… +x2 + x1

Observe que os termos opostos já estão um abaixo do outro, mas nós duplicaremos o número de termos ao somarmos essas duas expressões. Portanto, diferentemente de Gauss, obteremos o dobro de uma soma:

Sn = x1 + x2 +… +xn-1 + xn

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

+ Sn = xn + xn – 1 +… +x2 + x1

2Sn = (x1 + xn) + (x2 + xn-1) +… + (xn-1 + x2) + (xn + x1)

O dobro da soma de Gauss é exatamente o número de termos da PA. Como todas as somas acima são iguais à soma dos extremos, faremos essa substituição e reescreveremos a soma como uma multiplicação:

2Sn = (x1 + xn) + (x2 + xn-1) +… + (xn-1 + x2) + (xn + x1)

2Sn = (x1 + xn) + (x1 + xn) +… + (x1 + xn) + (x1 + xn)

2Sn = n(x1 + xn)

Encontramos o dobro da soma pretendida. Dividindo a equação por 2, teremos:

2Sn = n(x1 + xn)

Sn = n(x1 + xn)
      2

Essa é a fórmula usada para a soma dos termos de uma PA.

Exemplo:

Dada a P.A. (12, 24, …), calcule a soma dos seus 72 primeiros termos.

A fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma PA depende do número de termos da PA (72), do primeiro termo (12) e do último, que não sabemos. Para encontrá-lo, utilize a fórmula do termo geral de uma PA.

an = a1 + (n – 1)r

a72 = 12 + (72 – 1)12

a72 = 12 + (71)12

a72 = 12 + 852

a72 = 864

Agora, usando a fórmula para soma dos termos de uma PA:

Sn = n(x1 + xn)
       2

S72 = 72(12 + 864)
         2

S72 = 72(876)
        2

S72 = 63072
        2

S72 = 31536

Exemplo 2

Calcule a soma dos 100 primeiros termos da PA (1, 2, 3, 4, …).

Já sabemos que o 100º termo da PA é 100. Usando a fórmula par calcular a soma dos termos de uma PA, teremos:

Sn = n(x1 + xn)
        2

S100 = 100(1 + 100)
           2

S100 = 100(101)
           2

S100 = 10100
           2

S100 = 5050




Videoaulas relacionadas:

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Expressão algébrica

Expressão, Expressão numérica, Expressão algébrica, Operação, Termos semelhantes, monômios, monômios semelhantes, operar termo semelhantes, Valor numérico, Fator comum.

Interpolação de meios aritméticos

Distribuição de termos em uma progressão aritmética

Interpolação de meios geométricos

Você sabe o que uma interpolação dos meios geométricos? Clique e confira!

P.A.: Progressão Aritmética

Determinando o Termo Geral e a Soma dos Termos de uma P.A.

P.G.: Progressão Geométrica

Determinando o Termo Geral de uma P.G.

Sequência Numérica

Ao aprender a contar nos deparamos com termos numéricos em sequência. Mas o que é isso? Como podemos estruturar sequências numéricas?

Soma dos Termos de uma PG

Determinando a Soma dos Termos de uma PG.

Soma dos termos de uma P.A.

Determinando a soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Soma dos termos de uma PG infinita

Fórmula para o cálculo da soma dos infinitos termos de uma PG

Termo geral da PA

Clique e descubra o que é termo geral da PA: fórmula usada para determinar o valor de um termo de uma progressão aritmética quando conhecemos a posição desse termo, a razão e o primeiro termo da PA. Veja também uma maneira de determinar essa fórmula e obtenha exemplos comentados. Clique e aprenda!