Equação dos pontos conjugados

Espelhos esféricos são utilizados para monitoramento em grandes lojas.
Espelhos esféricos são utilizados para monitoramento em grandes lojas.

No estudo das características dos espelhos esféricos vimos que é possível construir graficamente a imagem conjugada por um dado espelho esférico. Nesse momento, vamos determinar algebricamente a imagem formada em um espelho esférico côncavo, sua posição e altura. Para isso, basta conhecer a posição e a altura do objeto.

Um sistema de coordenadas conveniente é o chamado referencial de Gauss, um referencial cartesiano que se faz coincidir com o esquema de espelho, de forma que:

► O eixo das abscissas coincide com o eixo principal do espelho
► O eixo das ordenadas coincide com o espelho
► A origem coincide com o vértice do espelho


O eixo das abscissas é orientado em sentido contrário ao da luz incidente, de modo que os elementos reais tenham abscissas positivas, e os elementos virtuais tenham abscissas negativas. Na figura abaixo, para um espelho côncavo de Gauss (cuja parte refletora é a interna, indicando por p a abscissa do objeto e por p’ a abscissa da imagem), temos:

Objeto real: p > 0; objeto virtual: p < 0; imagem real: p’ > 0; imagem virtual: p’ < 0.
Objeto real: p > 0; objeto virtual: p < 0; imagem real: p’ > 0; imagem virtual: p’ < 0. 

Com as convenções adotadas, o foco principal tem abscissa positiva se o espelho é côncavo – foco real; e negativa para os espelhos convexos – foco virtual.

♦ Espelho côncavo: f > 0
♦ Espelho convexo: f < 0

A equação que relaciona as abscissas do objeto (p), da imagem (p’) e do foco (f) é chamada de equação de Gauss ou equação dos pontos conjugados:

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Para a demonstração da equação de Gauss, vamos considerar um objeto  e sua correspondente imagem  conjugada por um espelho esférico côncavo, conforme a figura abaixo. 

Objeto AB e sua correspondente imagem A’B’ em um espelho esférico
Objeto AB e sua correspondente imagem A’B’ em um espelho esférico.

Os triângulos ABV e A’B’V são semelhantes:

mas VB’ = p’ e VB = p. Portanto, 

Os triângulos FDV e FA’B’ também são semelhantes. Mas DV = AB, FB’ = p’- f e FV = f. Logo, 

Das equações (I) e (II), 

Dividindo ambos os membros por pp’f, temos:

Portanto, 

Por: Domiciano Correa Marques da Silva

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