Resolvendo Equações Exponenciais

As equações exponenciais são caracterizadas pela presença da incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1. Exemplos:

2^x–2 = 16
2^x+1 + 2^x = 6
3^x+2 – 3^x = 27
3^x+2 – 3^x = 216
2^x–4 – 2^x–3 + 2^x–2 = 24

Elas são muito utilizadas na resolução de problemas envolvendo juros compostos, crescimento populacional, situações que envolvam grandes variações durante um pequeno intervalo de tempo, decaimento radioativo, progressões geométricas, crescimento de determinadas plantas entre outras situações.

O método resolutivo de uma equação exponencial consiste em reduzir as bases ao mesmo valor, igualando os expoentes. Observe:

a^x1 = a^x2 ↔ x1 = x2 (a > 0 e a ≠ 1)

Exemplo 1

2^x = 32
32 = 2⁵
2^x= 2⁵
x = 5

Exemplo 2

4^x = 64
64 = 4³
4^x = 4³
x = 3

Exemplo 3

81^{6 + x} = 9 ^–2x

3^4*(6+x) = 3^2*(–2x)
3^{24 + 4x} = 3 ^–4x
24 + 4x = –4x
4x+4x = –24
8x = –24
x = –24/8
x = –3


Exemplo 4

5^x + 5^x+1 = 30
5^x + 5^{x * 5} = 30

Substituindo 5^x por y.
y + y*5 = 30
y + 5y = 30
6y = 30
y = 30/6
y = 5

Retornando termos:
5^x = y
5^x = 5
x = 1

Exemplo 5

2^x * 2³ + 2x = 9

Substituindo 2^x = y

y * 8 + y = 9
8y + y = 9
9y = 9
y = 1

Retornando:
2^x = 1
2^x = 2⁰
x = 0


Exemplo 6

3^x+2 – 3^x = 216

3^x * 3² – 3^x = 216

Substituindo 3^x = y

y * 9 – y = 216
9y – y = 216
8y = 216
y = 216/8
y = 27

Retornando

3^x = 27
3^x = 3³
x = 3