Divisão de Polinômios

Você sabe como podemos realizar a divisão de polinômios que aparece na imagem acima? A divisão de polinômios é feita de forma bem parecida com a divisão de números reais. Por exemplo, qual deve ser o raciocínio quando tentamos dividir 35 por 2? Utilizando o algoritmo da divisão (também conhecido como método da chave), nós representamos a divisão da seguinte forma:

35 | 2

Então nós analisamos se o menor número no dividendo supera o divisor, no caso, o três é maior do que o dois, portanto, nós vamos procurar qual é o número que, multiplicado por dois, aproxima-se de três. Realizamos essa multiplicação e colocamos o resultado para subtrair a parte que utilizamos do dividendo:

3'5 | 2
- 2     1  
1       

Agora nós “descemos” o próximo algarismo do dividendo que ainda não foi utilizado e repetimos o mesmo processo:

3'5 | 2
- 2    17 
15      
- 14        
01      

Portanto, a divisão de 35 por 2 tem quociente 17 e deixa resto 1. Com polinômios, o procedimento é bem parecido, vejamos a divisão de (6 x⁴ – 10 x³ + 9 x² + 9 x – 5):(2 x² – 4 x + 5).

6 x⁴ – 10 x³ + 9 x² + 9 x – 5 | 2 x² – 4 x + 5

Nosso objetivo é cancelar os coeficientes de cada expoente para diminuir o grau do polinômio. Nesse caso, observe o primeiro termo do dividendo e do divisor, qual é o número que divide um pelo outro, respectivamente?

6 x⁴ : 2 x² = 3 x²

No caso, o primeiro termo do quociente é 3x². Nós deveremos multiplicá-lo por todo o divisor, e o oposto de cada resultado deverá ser transcrito embaixo do dividendo, isto é:

3x².( 2 x² – 4 x + 5) = 3x².2x² – 3x².4x + 3x².5 = 6x⁴ – 12 x³ + 15 x²

Se quisermos o oposto disso, teremos: – 6x⁴ + 12 x³ – 15x²

Voltando à divisão pelo método da chave, temos:

6 x⁴ – 10 x³ + 9 x² + 9 x – 5 | 2 x² – 4 x + 5
- 6x⁴ + 12x³ – 15 x²                  3x²                
0 + 2x³ – 6 x² + 9x – 5                        

Devemos continuar repetindo o processo até findar a divisão:

6 x⁴ – 10 x³ + 9 x² + 9 x – 5 | 2 x² – 4 x + 5
-6x⁴ + 12x³ – 15 x²                 3x² + 1x – 1  
0 + 2x³ – 6 x² + 9x – 5                       
- 2x³ + 4x² – 5x                          
0 – 2x² + 4x – 5                
2x² – 4x + 5           
0

Portanto, essa divisão de polinômios resulta em 3x² – 4x + 5 e não deixa resto.

Utilizando a mesma ideia, vamos realizar a divisão do início do texto: (10x² – 43x + 40):(2x – 5)

10 x² – 43x + 40 | 2 x – 5
– 10 x² + 25x         5x – 9    
0 – 18x + 40      
+ 18x – 45   
                 – 5         

Portanto, o resultado dessa divisão de polinômios é 5x – 9 e deixa resto – 5.

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto: